Colorimétrie/CIE XYZ 1931

Le système colorimétrique CIE XYZ 1931 est un des systèmes qui fait office de référence encore à l’heure actuelle. Il a constitué un des premiers pas de la Commission internationale de l'éclairage (CIE) vers une description quantitative des couleurs conforme à la vision humaine.

Historiquement, il a été obtenu à partir de la définition du système CIE RGB 1931, elle-même établie grâce aux travaux de John Guild et de William David Wright effectués sous un angle de 2°. Il présente de nombreux avantages :

• des composantes trichromatiques toujours positives qui simplifient les calculs manuels de l'époque ;
• une composante qui porte seule l'information de la luminance suite à une proposition de Deane Brewster Judd (1900–1972) ;
• une meilleure répartition spatiale de l’ensemble des couleurs dans l'espace colorimétrique ; ce dernier point reste son principal défaut et sera encore amélioré avec les systèmes CIE UVW (1960), puis CIE U'V'W' (1976) et surtout les systèmes chromatiques uniformes non-linéaires CIE LAB (1976) et CIE LUV (1976) ;
• de conserver des composantes égales pour le blanc d'égale énergie $\{E\}$ comme dans le système CIE RGB : X = Y = Z = 5,6508 si R = G = B = 1
• de conserver les outils de calcul vectoriel (additivité, continuité) et l’utilisation des lois de Grassmann grâce au caractère linéaire de la transformation.

Aujourd'hui, ce sont les valeurs tabulées des fonctions colorimétriques $\bar{x}(\lambda )$, $\bar{y}(\lambda )$ et $\bar{z}(\lambda )$ qui sont normalisées et à partir desquelles on retrouve les fonctions colorimétriques $\bar{r}(\lambda )$, $\bar{g}(\lambda )$ et $\bar{b}(\lambda )$ du système CIE RGB 1931. Ces valeurs sont présentées en [[../Annexe/Fonctions colorimétriques normalisées|annexe n°2]].

Description du système CIE XYZ 1931

Couleurs primaires et blanc de référence

Les trois primaires choisies $\{X\}$, $\{Y\}$ et $\{Z\}$ sont trois couleurs virtuelles (elles ne correspondent à aucune couleur réelle) qui forment un gamut dans lequel s'insèrent toutes les couleurs réelles. Elles sont liées aux primaires monochromatiques rouge $\{R\}$, verte $\{G\}$ et bleue $\{B\}$ du système [[../CIE RGB 1931|CIE RGB]] de la façon suivante à un facteur près :

$\{R\}=k_R\cdot (0,73467\cdot \{X\}+0,26533\cdot \{Y\}+0,00000\cdot \{Z\})$,

$\{G\}=k_G\cdot (0,27376\cdot \{X\}+0,71741\cdot \{Y\}+0,00883\cdot \{Z\})$,

$\{B\}=k_B\cdot (0,16658\cdot \{X\}+0,00886\cdot \{Y\}+0,82456\cdot \{Z\})$.

Le blanc de référence choisi est le blanc d'égale énergie $\{E\}$.

Couleur	Rouge $\{X\}$	Vert $\{Y\}$	Bleu $\{Z\}$	Blanc $\{E\}$
Coefficient de luminance	$L_{\{R\}}=0$	$L_{\{G\}}=1$	$L_{\{B\}}=0$	$L_{\{E\}}=1$

Cas n°1

Dans la définition rigoureuse des systèmes CIE 1931, on souhaite avoir X = Y = Z = 5,6505 si R = G = B = 1. Les couleurs $\{X\}$, $\{Y\}$ et $\{Z\}$ peuvent alors s'exprimer :

$\left(\begin{array}{c}\{X\}\\ \{Y\}\\ \{Z\}\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{ccc}0,41847& -0,09117& 0,00092\\ -0,15866& 0,25243& -0,00255\\ -0,08283& 0,01570& 0,17859\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\{R\}\\ \{G\}\\ \{B\}\end{array}\right)$

Connaissant les coefficients de luminances des primaires $\{R\}$, $\{G\}$ et $\{B\}$ :

$L_{\{R\}}=1,0000;L_{\{G\}}=4,5907;L_{\{B\}}=0,0601;$

on peut observer que

• les coefficients de luminance des primaires $\{X\}$ et $\{Z\}$ sont nulles :

$L_{\{X\}}=1,0000\cdot 0,41847+4,5907\cdot (-0,09117)+0,0601\cdot 0,00092=0$.

$L_{\{Z\}}=1,0000\cdot (-0,0828)+4,5907\cdot 0,01570+0,0601\cdot 0,17859=0$ ;

on dit que ces deux primaires sont alychnes, qu’elles sont dans le plan alychne ;

• la luminance de $\{Y\}$ vaut :

$L_{\{Y\}}=1,0000\cdot (-0,15866)+4,5907\cdot 0,25243+0,0601\cdot (-0,00255)=1$.

Cas n°2

Cependant, on peut parfois préférer avoir X = Y = Z = 1 si R = G = B = 1 alors :

$\left(\begin{array}{c}\{X\}\\ \{Y\}\\ \{Z\}\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{ccc}2,3647& -0,5152& 0,0052\\ -08966& 1.4264& -0,0144\\ -0,4681& 0,0887& 1,0092\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\{R\}\\ \{G\}\\ \{B\}\end{array}\right)$

et dans ce cas, les coefficients de luminance sont :

$L_{\{X\}}=0,0000;L_{\{Y\}}=5,6508;L_{\{Z\}}=0,0000.$

Cas n°2

Dans le deuxième cas on se retrouve face à un changement de primaire comme expliqué dans l’[[../Annexe/Changement de primaires|annexe n°3]] avec les primaires suivantes.

Système de primaires expérimentales	Couleurs 3	$\{R\}$ Modèle:Unité	$\{G\}$ Modèle:Unité	$\{B\}$ Modèle:Unité	Blanc $\{E\}$
	Composantes pour égaliser le blanc	1	1	1	1
Système de primaires CIE RGB	Couleurs 4	$\{X\}$	$\{Y\}$	$\{Z\}$	Blanc $\{E\}$
	Composantes pour égaliser le blanc	1	1	1	1

Et d’après la décision 5 de la CIE :

$𝐍=\left(\begin{array}{ccc}0,73467& 0,26533& 0,00000\\ 0,27376& 0,71741& 0,00883\\ 0,16658& 0,00886& 0,82456\end{array}\right)$

En appliquant les relations démontrées dans l'[[../Annexe/Changement de primaires|annexe n°3]] :

$\left(\begin{array}{c}{k}_R\\ k_G\\ k_B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,6667\\ 1,1324\\ 1,2006\end{array}\right).$

On obtient la relation entre les primaires

$\left(\begin{array}{c}\{X\}\\ \{Y\}\\ \{Z\}\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{ccc}2,3647& -0,5152& 0,0052\\ -08966& 1.4264& -0,0144\\ -0,4681& 0,0887& 1,0092\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\{R\}\\ \{G\}\\ \{B\}\end{array}\right)$

On retrouve également la relation entre les composantes :

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0,49000& 0,31000& 0,20000\\ 0,17697& 0,81240& 0,01063\\ 0,00000& 0,01000& 0,99000\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}R\\ G\\ B\end{array}\right).$

Cas n°1

Dans le premier cas et dans la définion du système CIE XYZ, la méthode est la même, il n'y a qu’à les trois composantes X, Y et Z par 5,6508 pour obtenir les relations.

Système de primaires expérimentales	Couleurs 3	$\{R\}$ Modèle:Unité	$\{G\}$ Modèle:Unité	$\{B\}$ Modèle:Unité	Blanc $\{E\}$
	Composantes pour égaliser le blanc	1	1	1	1
Système de primaires CIE RGB	Couleurs 4	$\{X\}$	$\{Y\}$	$\{Z\}$	Blanc $\{E\}$
	Composantes pour égaliser le blanc	5,6508	5,6508	5,6508	1

$\left(\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right)=5,6508\cdot \left(\begin{array}{ccc}0,49000& 0,31000& 0,20000\\ 0,17697& 0,81240& 0,01063\\ 0,00000& 0,01000& 0,99000\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}R\\ G\\ B\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2,7689& 1,7517& 1,1302\\ 1,0000& 4,5907& 0,0601\\ 0,0000& 0,0565& 5,5943\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}R\\ G\\ B\end{array}\right).$

$\left(\begin{array}{c}\{X\}\\ \{Y\}\\ \{Z\}\end{array}\right)\equiv \frac{1}{5,6508}\cdot \left(\begin{array}{ccc}2,3647& -0,5152& 0,0052\\ -08966& 1.4264& -0,0144\\ -0,4681& 0,0887& 1,0092\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\{R\}\\ \{G\}\\ \{B\}\end{array}\right)\equiv \left(\begin{array}{ccc}0,41847& -0,09117& 0,00092\\ -0,15866& 0,25243& -0,00255\\ -0,08283& 0,01570& 0,17859\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}\{R\}\\ \{G\}\\ \{B\}\end{array}\right)$

Fonctions colorimétriques

Fonctions colorimétriques
$\bar{x}(\lambda )$, $\bar{y}(\lambda )$ et $\bar{z}(\lambda )$

Les fonctions colorimétriques $\bar{x}(\lambda )$, $\bar{y}(\lambda )$ et $\bar{z}(\lambda )$ doivent permettre de retrouver les composantes de n’importe quelle couleur connaissant la répartition de sa densité spectrale d'énergie $S(\lambda )$. Les valeurs normalisées sont tabulées par pas de 5 nm entre 380 et 780 nmModèle:,Modèle:,Modèle:, pour la plupart des applications. Si la précision n’est pas suffisante, il est recommandé d’utiliser les valeurs tabulées par pas de 1 nm entre 360 et 830 nmModèle:,Modèle:,. Modèle:Définition

Caractéristiques d'une couleur $\{C\}$

Composantes X Y Z

Une couleur est caractérisée par ses trois composantes $X$, $Y$ et $Z$ :

$\{C\}\equiv X.\{X\}+Y.\{Y\}+Z.\{Z\}$.

Elles sont positives pour toutes les couleurs réelles et les lois de Grassmann peuvent s'appliquer.

Pour une couleur possédant une densité spectrale d'énergie $S(\lambda )$ connue, et pour l'observateur de référence, les composantes se calculent à partir des fonctions colorimétriques :

$\{\begin{array}{c}X=K.\underset{380nm}{\overset{780nm}{\int }}\bar{x}(\lambda )\cdot S(\lambda )\cdot \mathrm{d}\lambda \\ Y=K.\underset{380nm}{\overset{780nm}{\int }}\bar{y}(\lambda )\cdot S(\lambda )\cdot \mathrm{d}\lambda \\ Z=K.\underset{380nm}{\overset{780nm}{\int }}\bar{z}(\lambda )\cdot S(\lambda )\cdot \mathrm{d}\lambda \end{array}.$

Coordonnées x y z

Diagramme de chromaticité xy
Gamut du système de primaires sRGB dans le diagramme de chromaticité xy : les couleurs hors du trinagle ne peuvent pas être reproduite sur un écran sRGB

Les coordonnées trichromatiques x, y, z, sont obtenues à partir des composantes et indiquent les proportions de chacune des primaires.

$x=\frac{X}{X+Y+Z}$            $y=\frac{Y}{X+Y+Z}$            $z=\frac{Z}{X+Y+Z}$

Dans le système CIE Yxy, ce sont les coordonnées x et y qui sont utilisées pour repérer le point représentatif de la couleur sur le diagramme de chromaticité. La grandeur Y est utilisée pour conserver l'information de la luminance.

Notes et références

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage

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