Cinématique des fluides/Exercices/Comparaison Euler - Lagrange

Modèle:Exercice Nous allons étudier l'exemple très simplifié de la chute libre d'un fluide pour illustrer la différence d'approche.

Soit un robinet, de section de sortie circulaire S, ouvert depuis suffisamment longtemps pour que l'écoulement soit considéré permanent. L'eau, supposé être un fluide parfait et incompressible, s'écoule verticalement vers le bas en chute libre. Soit un repère orthonormé tel que l'origine O est au centre de la section de sortie du robinet et z l'axe vertical dirigé vers le bas. Soit t le temps.

L'accélération d'une particule d'eau à tout instant est dans ce cas :

$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{g}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ g\end{array}\right)$.

On suppose que l’on connait à l'instant t = 0, la position de la particule ${\overrightarrow{r}}_0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ z_0\end{array}\right)$ et sa vitesse ${\overrightarrow{v}}_0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ v_0\end{array}\right)$.

Les vitesses et accélérations étant nulles selon les axes x et y, on ne s'intéresse qu’à la composante en z.

1. Déterminer la vitesse du fluide en tout point de coordonnée z à l'aide d'une description lagrangienne.

2. Déterminer la vitesse du fluide en tout point de coordonnée z à l'aide d'une description eulérienne.

Quelle que soit l'approche choisie (Lagrange ou Euler), le résultat est le même.