Cinématique (Expert)/Introduction à la cinématique, dérivation d'une fonction vectorielle

Notations

• Dérivée d'une fonction réelle x : $\dot{x}$
• Vecteur position : $\overrightarrow{OM(t)}$
• Vecteur vitesse : $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OM(t)}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{V{m}_{1/0}}$
• Vecteur accélération : $\frac{{\mathrm{d}}^2\overrightarrow{OM(t)}}{\mathrm{d}{t}^2}=\overrightarrow{\mathrm{\Gamma }{m}_{1/0}}$

Définitions

Fonction vectorielle

Dans l'espace réel ${ℝ}^3$ muni d'une base $B(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on définit une fonction vectorielle $\overrightarrow{u_{(t)}}$ telle que :

$\overrightarrow{u_{(t)}}=u_1(t)\overrightarrow{i}+u_2(t)\overrightarrow{j}+u_3(t)\overrightarrow{k}$.

On suppose $\overrightarrow{u_{(t)}}$ continue et suffisamment dérivable sur l'espace d'étude.

Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base B

Soit $\overrightarrow{u_{(t)}}$ définie dans B telle que :

$\overrightarrow{u_{(t)}}=u_1(t)\overrightarrow{i}+u_2(t)\overrightarrow{j}+u_3(t)\overrightarrow{k}$.

La dérivée de la fonction vectorielle u dans la base B et par rapport au paramètre t est définie de la manière suivante :

$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_{(t)}}}{\mathrm{d}t}=(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{u}_1(t))\overrightarrow{i}+(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{u}_2(t))\overrightarrow{j}+(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{u}_3(t))\overrightarrow{k}$

Dérivation d'une fonction vectorielle définie dans la base B, par rapport à la base $B_0$

Soit $\overrightarrow{u_{(t)}}$ définie dans B telle que :

$\overrightarrow{u_{(t)}}=u_1(t)\overrightarrow{i}+u_2(t)\overrightarrow{j}+u_3(t)\overrightarrow{k}$.

On définit une deuxième base $B_0$ orthogonale directe $B_0(\overrightarrow{i_0},\overrightarrow{j_0},\overrightarrow{k_0})$. Nous observons la dérivation dans $B_0$ de la fonction $\overrightarrow{u_{(t)}}$ définie dans B: