Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable très difficile

Les changements de variables présentés dans cette page ont été choisis pour leur difficulté. Ils peuvent faire appel à des astuces qui ne sont pas évidentes à voir. L'étudiant devra persévérer et ne pas se décourager. Il est bien sûr déconseillé de regarder rapidement la solution sinon les exercices n'auront aucun intérêt.

Exercice 5-1

Calculer :

$a)\underset{\frac{\pi }{3}}{\overset{\frac{2\pi }{3}}{\int }}\frac{x}{\sin x}\mathrm{d}xb)\underset{\frac{\pi }{3}}{\overset{\frac{2\pi }{3}}{\int }}\frac{x}{\cos x}\mathrm{d}x$.

Exercice 5-2

Calculer :

$a)\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^2-x+1}{x^4-x^2+1}\mathrm{d}xb)\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x^4-x^2+1}c)\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\frac{1+x\ln (x^2+1)}{x^4-x^2+1}\mathrm{d}x$.

Exercice 5-3

Calculer :

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\sin x}{\sqrt{1+\sin x\cos x}}\mathrm{d}x$.