Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable moyen

Les changements de variable présentés dans cette page demandent de la réflexion mais ne devraient pas poser trop de problème.

Exercice 3-1

Calculer :

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{1-\cos \frac{x}{3}}{\sin \frac{x}{2}}\mathrm{d}x$.

Exercice 3-2

Calculer :

$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\tan x}{1+{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x$.

Exercice 3-3

Calculer :

$a)\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\sqrt{x^3+1}}{x}\mathrm{d}xb)\underset{1}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{4x^2+x+1}}$.

Exercice 3-4

Calculer :

$a)\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\cos x}{\sqrt{1+\cos 2x}}\mathrm{d}xb)\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\sin x}{\sqrt{1+\sin 2x}}\mathrm{d}x$.

Exercice 3-5

Calculer :

$a)\underset{1}{\overset{2}{\int }}x\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\mathrm{d}xb)\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\arctan \sqrt{\frac{x+1}{x+3}}\mathrm{d}x$.

Exercice 3-6

1. Soit la fonction $u(x)=x+\sqrt{x^2+x+1}$. Montrer que $u$ est une bijection de $[0,1]$ sur un intervalle $[a,b]$ que l'on précisera.
2. Faire la division euclidienne de $t^4+2t^3+3t^2+2t+1$ par $t^2+t+1$.
3. Montrer que $x=\frac{t^2-1}{2t+1},t\ge 1$ est équivalent à $t=x+\sqrt{x^2+x+1},x\ge 0$.
4. Faire le changement de variable $u(x)=t$ dans l'intégrale $I:=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x+\sqrt{x^2+x+1}}$.
   Montrer que $I=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{P(t)}{Q(t)}\mathrm{d}t$, pour une fraction rationnelle $\frac{P}{Q}$ que l'on précisera.
5. Faire la décomposition en éléments simples dans $ℝ$ de la fraction rationnelle de la question précédente et calculer $I$.