Calcul littéral/Distributivité double

Le calcul littéral est un sujet difficile lorsqu'on n'y est pas habitué. Pourtant il est indispensable de le maîtriser pour résoudre des équations, et plus tard travailler avec des fonctions. C'est pour cela qu'il est indispensable de bien s'entraîner au début pour éviter des difficultés dans l'avenir.

Réduction

Modèle:Début cadre Réduire une expression littérale consiste à regrouper les termes en x entre eux, les termes en $x^2$ entre eux, etc. Modèle:Fin cadre

Ne pas confondre addition et multiplication

$x\times x=...$

$x+x=...$

Réduire des additions

$2x+5x=...$

$-x+3x=...$

Réduire des multiplications

$2\times x\times 4=...$

$2\times x\times (-5)=...$

Réduire des carrés

Simplifier

$(3x{)}^2=...$

$(-x{)}^2=...$

On ne réduit pas des x avec des x au carré

$2x-7+3x^2+5x-4x^2+5$

Distributivité de la multiplication sur l'addition

Exemple

Calculer séparément

$4\times (3+2)=$

$4\times 3+4\times 2=$

Nous voyons que le résultat 20 est le même dans les deux cas. Tout se passe comme si le 4 avait été distribué aux deux termes 3 et 2. Ceci peut être généralisé :

Propriété

Modèle:Début cadre Pour tous nombres k, a et b :

$k\times (a+b)=k\times a+k\times b$

$k\times (a-b)=k\times a-k\times b$

$(a+b)\times k=a\times k+b\times k$

$(a-b)\times k=a\times k-b\times k$

Quand nous utilisons ces propriétés de la gauche vers la droite pour transformer des produits en sommes, nous disons que nous développons les expressions.

Exemples

Développer :

$(-2)\times (3+5)=$

$2\times (3-5)=$

$(7+2)\times 5=$

$(2-7)\times 3=$

Modèle:Solution

Développements en calcul littéral (avec des x)

La distributivité est surtout intéressante pour transformer des expressions littérales, leur donner une autre forme.

Exercice : Développer puis réduire les expressions suivantes

$5\times (x+2)=$

$2\times (2x-5)=$

$(7+2x)\times 3=$

$(2x-7)\times (-3)=$

La double distributivité

Formules

$(a+b)\times (c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d$

$(a-b)\times (c+d)=a\times c+a\times d-b\times c-b\times d$

$(a+b)\times (c-d)=a\times c-a\times d+b\times c-b\times d$

$(a-b)\times (c-d)=a\times c-a\times d-b\times c+b\times d$

Exemples

Développer : $(2x+4)(3x+2)-(4x+3)(3x+4)$

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$(x+2)\times (x+3)=$

$(x-2)\times (5+x)=$

$(2x+3)\times (x-4)=$

$(-3x-5)\times (x-1)=$

Interprétation géométrique

	a	b
c	aire : ac	aire : bc
d	aire : ad	aire : bd

La surface d’un rectangle est égale la longueur fois la largeur, donc la surface totale du grand rectangle = (a+b)(c+d) mais c’est aussi la somme des aires des petits rectangles : ac + ad + bc + bd

Donc (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd

Modèle:Bas de page