Calcul différentiel/Recherches d'extrema

Dans ce chapitre, nous allons aborder des théorèmes qui portent sur l'existence d'extrema locaux de fonctions définies sur des ouverts, puis nous verrons des méthodes plus générales permettant de trouver des extrema.

Points critiques

Condition nécessaire sur la différentielle

La recherche d'extrema locaux commencera donc toujours par la recherche des points critiques de la fonction étudiée.

Pour rechercher les points critiques, il faut résoudre le système d'équations :

$\mathrm{\forall }i\frac{\partial f}{\partial x_i}=0$.

Matrice hessienne

Définition

Selon le théorème de Schwarz, la hessienne est symétrique.

Condition nécessaire sur la différentielle seconde

Ce théorème est surtout utilisé pour nier l'existence d'un extremum en un point critique. Il peut suffire par exemple de trouver des valeurs propres de la matrice hessienne qui sont positives et d'autres qui sont négatives, pour montrer qu'un point n’est pas un extremum.

Cas particulier n = 2

Si $f$ est une fonction de deux variables réelles, sa hessienne en un point est de la forme

$H=\left(\begin{array}{cc}r& s\\ s& t\end{array}\right)$

(notation de Monge).

Il est alors très facile de déterminer le signe des deux valeurs propres $\lambda ,\mu$ de $H$ et donc le statut de $Q$ (positive, définie positive, etc.), sachant que

$\lambda \mu =\det H=rt-s^2\text{et}\lambda +\mu =\mathrm{tr}H=r+t$.