Calcul différentiel/Sous-variétés de Rn

Soient $E\simeq F\oplus G$ avec $E={ℝ}^n,F={ℝ}^d,G={ℝ}^{n-d}$, $M\subset E$ et k ≥ 1. Modèle:Théorème

En fait tout ceci resterait vrai pour des espaces de Banach de dimension infinie, à condition de remplacer, dans la condition (2), « surjective » par « admet un inverse à droite dans $ℒ(G,E)$ », et dans la condition (4), « injective » par « admet un inverse à gauche dans $ℒ(E,F)$ ».

Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Définition

Donc si $M$ est une sous-variété en $m$ alors $T_{m}M$ est un sous-espace vectoriel (de $E$) isomorphe à $F$, et on l'appelle l'espace vectoriel tangent à $M$ en $m$ (par opposition à l'espace affine tangent, qui est $m+T_{m}M$).