Calcul différentiel/Jacobien

Le jacobien est une généralisation de la dérivée et du gradient pour les fonctions de plusieurs variables. Cette notion a de nombreuses applications, en mathématiques mais aussi en robotique et en biologie.

Gradient d'une fonction

La dérivée d'une fonction en un point donne l'équation de sa tangente.

Modèle:Définition

Modèle:Exemple

Jacobien et matrice jacobienne

Modèle:Exemple

Modèle:Définition

Propriétés

On peut interpréter le jacobien d'une application en termes de « modification » des volumes. Lors d'une transformation, un volume élémentaire sera multiplié par la valeur absolue du jacobien de la transformation. En particulier, un jacobien identiquement égal à 1 conserve les volumes. On note cela de la manière suivante : $\delta V^{\prime }=|\mathrm{Jac}f|\delta V$.

Changement de variables

L'utilisation la plus courante du jacobien concerne le changement de variables dans les intégrales multiples.

Développements limités

Le jacobien permet d'effectuer l'équivalent des développements limités pour les fonctions réelles à l’ordre un. On a en effet :

On retrouve en quelque sorte l'interprétation « géométrique » que l’on avait pour la dérivée : la matrice jacobienne permet d'obtenir un objet « tangent » à la fonction.