Calcul différentiel/Exercices/Inversion locale, fonctions implicites

Exercice 1

1. Montrer que l'application $\phi :(r,\theta )\mapsto (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ est un CModèle:Exp-difféomorphisme de l'ouvert $]0,\mathrm{\infty }[\times ]-\pi ,\pi [$ sur le plan privé de la demi-droite ${ℝ}_{-}$. Si $f(x,y)=g(r,\theta )$, donner les formules de passage entre les dérivées partielles de $f$ et celles de $g$.
2. Soit $U$ le plan privé de l'origine, et $f(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$. Montrer que $f$ est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de $U$ mais n'est pas un difféomorphisme global.
3. Soit $g$ l'application de ${ℝ}^2$ dans ${ℝ}^2$ définie par $g(x,y)=(x+y,xy)$. Trouver un ouvert connexe maximal $U\subset {ℝ}^2$ tel que $g$ soit un difféomorphisme de $U$ sur $g(U)$.
4. Soit $h$ l'application de ${ℝ}^2$ dans ${ℝ}^2$ définie par $h(x,y)=({\mathrm{e}}^x\cos y,{\mathrm{e}}^x\sin y)$. Montrer que $h$ est de classe CModèle:Exp et que $D_{(x,y)}h$ est inversible pour tout $(x,y)\in {ℝ}^2$, mais que $h$ n'est pas un difféomorphisme de ${ℝ}^2$ sur $h({ℝ}^2)$.

Exercice 2

Soit $\phi :{ℝ}^2\to {ℝ}^2,(x,y)\mapsto (x-\sin (y/2),y-\sin (x/2))$.

1. Justifier que $\phi$ est de classe CModèle:Exp, calculer sa différentielle et voir que $\mathrm{D}\phi (x,y)$ est inversible pour tout $(x,y)\in {ℝ}^2$.
2. Montrer que $\phi$ est injective et en déduire que c'est un CModèle:Exp-difféomorphisme de ${ℝ}^2$ sur $\phi ({ℝ}^2)$. Justifier que $\phi ({ℝ}^2)$ est un ouvert.
3. Montrer que ${\phi }^{-1}$ (définie sur $\phi ({ℝ}^2)$) est lipschitzienne (quelle que soit la norme choisie sur ${ℝ}^2$).
4. En déduire que $\phi$ est un difféomorphisme de ${ℝ}^2$ sur ${ℝ}^2$.
5. Soit $p=(\pi /2-1,\pi -1/\sqrt{2})$. Calculer $\mathrm{D}{\phi }^{-1}(p)$.

Modèle:Solution Généralisation : soit $F:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$ différentiable. On suppose qu'il existe $C>0$ tel que pour tout $x,y\in {ℝ}^n$

(*) $\Vert F(x)-F(y)\Vert \ge C\Vert x-y\Vert$.

1. Justifier que $F$ est injective.
2. Montrer que pour tous $y,e\in {ℝ}^n$, $\Vert DF(y)[e]\Vert \ge C\Vert e\Vert$ (on pourra prendre $x=y+te$ dans (*) puis faire tendre $t$ vers $0$).
3. Soit $a\in {ℝ}^n$. Montrer que $\underset{\Vert x\Vert \to +\mathrm{\infty }}{\lim }\Vert F(x)-a\Vert =+\mathrm{\infty }$.
4. En déduire que la fonction $g:x\mapsto \Vert F(x)-a{\Vert }_2^2$ admet un minimum global sur ${ℝ}^n$. En calculant son gradient en ce point de minimum, montrer qu'il existe $x_a\in {ℝ}^n$ tel que $F(x_a)=a$.
5. Conclure que $F$ est surjective de ${ℝ}^n$ sur ${ℝ}^n$.
6. Application : soit $f:ℝ\to ℝ$ dérivable. On suppose qu'il existe $\kappa \in ]0,1[$ tel que $\mathrm{\forall }t\in ℝ|f^{\prime }(t)|\le \kappa$. On définit alors la fonction $\phi :{ℝ}^2\to {ℝ}^2,(x,y)\mapsto (x+f(y),y+f(x))$. Montrer que $|f(t)-f(s)|\le \kappa |t-s|$ et en déduire que $⟨\phi (x,y)-\phi (u,v),(x,y)-(u,v)⟩\ge (1-\kappa )\Vert (x,y)-(u,v){\Vert }_2^2$ (et donc $\Vert \phi (x,y)-\phi (u,v){\Vert }_2\ge (1-\kappa )\Vert (x,y)-(u,v){\Vert }_2$ d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, si bien que d'après tout ce qui précède, $\phi :{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ est bijective).

Exercice 3

Soient $E={\mathrm{M}}_n(ℝ)$ et $I$ la matrice unité dans $E$. En considérant $\phi :E\to E,A\mapsto A^2$, montrer qu'il existe $\alpha >0$ tel que toute matrice $A$ vérifiant $\Vert A-I\Vert <\alpha$ admette une racine carrée. Modèle:Solution

Exercice 4

1. Montrer que si $a$ et $b$ sont voisins de $1$, on peut trouver $x,y\in ℝ$ tels que $y+{\mathrm{e}}^{xy}=a$ et $x+{\mathrm{e}}^{-xy}=b$.
2. Soit $f:{ℝ}^2\to {ℝ}^2,(x,y)\mapsto (x\sin \left(xy\right)+y,y\cos \left(xy\right)+x)$, et soit $\left((a_n,b_n)\right)$ une suite convergeant vers $(0,0)$. Montrer que si $f(a_n,b_n)=(0,0)$ pour tout $n$, la suite $\left((a_n,b_n)\right)$ stationne.

Exercice 5

1. Donner l'allure de la courbe d'équation $x^4+y^3-x^2-y^2+x-y=0$ au voisinage des points $(0,0)$ et $(1,1)$.
2. Soit $f(x,y)=x^3+y^3-3xy-1$. Montrer que $f(x,y)=0$ définit au voisinage de $(0,1)$ une fonction implicite $y=\varphi \left(x\right)$ de classe CModèle:Exp, et donner le développement limité à l'ordre $3$ de $\varphi$ en $0$.
3. Soit $g(x,y)=2{\mathrm{e}}^{x+y-1}+\ln (x-y)-2x+y^3$. Montrer que $g(x,y)=0$ définit au voisinage de $(1,0)$ une fonction implicite $y=\varphi \left(x\right)$ de classe CModèle:Exp, et donner le développement limité à l'ordre $3$ de $\varphi$ en $1$.
4. Soit $h(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-2z(x+y)-2x+y-2z-1$. Montrer que $h(x,y,z)=0$ définit au voisinage de $(0,0,-1)$ une fonction implicite $z=\varphi (x,y)$ de classe CModèle:Exp, et donner le développement limité à l'ordre $2$ de $\varphi$ en $(0,0)$.

Exercice 6

1. Soient $P_0$ un polynôme réel de degré $d$ et ${\alpha }_0$ une racine simple de $P_0$.
   En considérant l'application ${ℝ}_d\left[X\right]\times ℝ\to ℝ,(P,\alpha )\mapsto P\left(\alpha \right)$, montrer qu'il existe un voisinage $U\times V$ de $(P_0,{\alpha }_0)$ tel que tout polynôme $P\in U$ ait une unique racine $\alpha$ dans $V$, que cette racine soit simple, et que l'application $P\mapsto \alpha$ soit de classe CModèle:Exp.
2. Montrer que si $P_0$ a $k$ racines simples, il existe un voisinage $U$ de $P_0$ et $k$ fonctions CModèle:Exp ${\varphi }_1,\dots ,{\varphi }_k:U\to ℝ$ tels que pour tout $P\in U$, les réels ${\varphi }_1\left(P\right),\dots ,{\varphi }_k\left(P\right)$ soient distincts et soient des racines simples de $P$.
3. Que se passe-t-il pour les racines multiples ?

Exercice 7

Soient $a,b\in ℝ$ tels que $0<|ab|\le 1$. Montrer que :

1. l'application $f:(x,y)\mapsto (x+a\sin y,y+b\sin x)$ est injective ;
2. toute suite dans ${ℝ}^2$ dont l'image par $f$ converge est elle-même convergente ;
3. l'ensemble $F:=f({ℝ}^2)$ est fermé et la bijection $f^{-1}:F\to {ℝ}^2$ est continue ;
4. $f$ est un difféomorphisme de ${ℝ}^2$ sur lui-même si et seulement si $|ab|<1$ ;
5. si $|ab|=1$ alors $f$ est un homéomorphisme de ${ℝ}^2$ sur lui-même .

Exercice 8

Soit $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$ définie par

$f(x,y,z)=(x^2-y^2+z^2-1,xyz-1)$.

Soit $(x_0,y_0,z_0)\in {ℝ}^3$ tel que

$f(x_0,y_0,z_0)=(0,0)$.

Montrer que dans un voisinage de $(x_0,y_0,z_0)$, la relation $f(x,y,z)=(0,0)$ définit une courbe image d'un intervalle $I$ contenant $x_0$ par une application $\phi :I\to {ℝ}^2$ de classe CModèle:Exp. Modèle:Solution

Exercice 9

1. Soient $f:{ℝ}^2\to ℝ$ définie par $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ et $C$ l'ensemble des $(x,y)\in {ℝ}^2$ tels que $f(x,y)=0$.
   1. Au voisinage de quels points la relation $f(x,y)=0$ détermine-t-elle $y$ en fonction de $x$ ? $x$ en fonction de $y$ ?
   2. Calculer la dérivée de la fonction implicite lorsqu'elle existe et écrire l'équation de la tangente à $C$.
2. Montrer que l'équation ${\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^y+x+y-2=0$ définit au voisinage de $0$ une fonction implicite $\phi$ de $x$ dont on calculera le développement limité à l'ordre $3$ en $0$.
3. Montrer que les équations $x+y-zt=0,xy-z+t=0$ définissent au voisinage de $(0,1)$ deux fonctions implicites $x={\phi }_1(z,t),y={\phi }_2(z,t)$ avec ${\phi }_1(0,1)=1$, dont on calculera les différentielles en ce point.

Exercice 10

On considère l'application $\mathrm{\Psi }:M_n(ℝ)\times M_n(ℝ)\to M_n(ℝ)$ définie par $\mathrm{\Psi }(A,B)=AB-I$. Montrer à l'aide du théorème des fonctions implicites que l'application $\phi :GL(n,ℝ)\to GL(n,ℝ),A\mapsto A^{-1}$ est différentiable et retrouver sa différentielle. Modèle:Solution

Exercice 11

Soit l'application $F:{ℝ}^3\to ℝ,(x,y,z)\mapsto \sqrt{x^2+y^2+2z^2}-\cos z$.

1. Démontrer que la relation $F(x,y,z)=0$ définit au voisinage du point $a=(0,1,0)\in {ℝ}^3$ une application implicite $\phi (x,z)=y$ de classe CModèle:Exp.
2. Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de $\phi$ au point $(0,0)$.

Exercice 12

Soient $E$ un e.v.n. de dimension finie et $f:E\to E$ de classe CModèle:Exp. On suppose que $f$ est une isométrie locale, c'est-à-dire que $\Vert \mathrm{d}{f}_x(h)\Vert =\Vert h\Vert$ pour tous $x,h\in E$.

1. Montrer que tout $a\in E$ possède un voisinage $\mathrm{\Omega }$ sur lequel $f$ est injective et que $\Vert f(x)-f(y)\Vert =\Vert x-y\Vert$ pour tous $x,y\in \mathrm{\Omega }$.
2. En déduire que $f$ est affine au voisinage de $a$.
3. En déduire que $f$ est (globalement) affine.