Calcul différentiel/Exercices/Courbes et surfaces dans R3

Exercice 1

Calculer l'équation du plan tangent au cône à base elliptique $\mathrm{\Sigma }$ d'équation $xy=z^2$, en un point arbitraire $M_0=(x_0,y_0,z_0)\ne (0,0,0)$ de $\mathrm{\Sigma }$. Modèle:Solution

1. Déterminer les points de la surface $S$ d'équation $xy=z^3$ dont le plan tangent contient la droite d'équations $x=2,y-3z+3=0$.
2. En tout point $M_0=(x_0,y_0,z_0)\in S$ tel que $x_0{y}_0\ne 0$, déterminer la position de la surface par rapport à son plan tangent.

Exercice 2

Pour $\lambda \in ℝ$, soit $S_{\lambda }=\{(x_1,x_2,x_3)\in {ℝ}^3\mid x_1^2+x_2^2-x_3^2=\lambda \}$.

1. Déterminer les réels $\lambda$ pour lesquels $S_{\lambda }$ est une sous-variété de ${ℝ}^3$. Dessiner $S_{\lambda }$ en fonction de $\lambda$.
2. Pour $x,y\in {ℝ}^3$, soit $B(x,y)=x_1{y}_1+x_2{y}_2-x_3{y}_3$. Soit $x\in S_{\lambda }$, exprimer ${\mathrm{T}}_x{S}_{\lambda }$ à l'aide de $B$.

Exercice 3

Déterminer, parmi les sous-ensembles ci-dessous, lesquels sont des sous-variétés de ${ℝ}^n$ :

1. $S_0=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^3+y^3+z^3-3xyz=1\}$ ;
2. $C_0=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid xy=0\}$ ;
3. $C_1=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\text{et}{x}^2+y^2-x=0\}$ ;
4. $C_2=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid y^2=x^3\}$ ;
5. $S_1=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2=\alpha z^2\}$ ($\alpha >0$).

Exercice 4

On considère la sphère unité $S$ de ${ℝ}^3$ et un cylindre $C$, d'axe vertical et de rayon $r>0$. L'intersection de $S$ et $C$ définit-elle toujours une courbe lisse ? Retrouver cette observation par le calcul. Modèle:Solution

Exercice 5

1. Montrer que l'équation $xy+xz+yz+2x+2y-z=0$ définit une surface $S$. Donner l'équation du plan tangent de cette surface à l'origine.
2. Montrer que le système d'équations $4xy+2xz+4y-z=xy+xz+yz+2x+2y-z=0$ définit au voisinage de l'origine une courbe. Déterminer la droite tangente à cette courbe à l'origine.
3. Montrer que le système d'équations $x^2+y^2-z^2=2x+y+1=0$ définit une courbe lisse $C$ de ${ℝ}^3$ et déterminer la droite tangente $T_{a}C$ à $C$ en $a=(-1,1,\sqrt{2})$.

Exercice 6

On appelle groupe orthogonal l'ensemble ${\mathrm{O}}_n(ℝ)=\{M\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)\mid {}^{t}MM={\mathrm{I}}_n\}$.

Le but est de montrer que ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$ est une sous-variété de ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$.

Soit $E$ l'espace vectoriel des matrices symétriques réelles d'ordre $n$ et $f:{\mathrm{M}}_n(ℝ)\to E$ définie par $f(A)={}^{t}AA$.

1. Montrer que ${\mathrm{D}}_{A}f(H)={}^{t}AH+{}^{t}HA$.
2. Soit $A\in {\mathrm{O}}_n(ℝ)$, $S\in E$ et $H=\frac{1}{2}AS$. Montrer que ${\mathrm{D}}_{A}f(H)=S$. En déduire que ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$ est une sous-variété de ${\mathrm{M}}_n(ℝ)$ de dimension $n(n-1)/2$, dont l'espace tangent en ${\mathrm{I}}_n$ est $\{X\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)\mid {}^{t}X=-X\}$.

Exercice 7

1. Montrer que l'ensemble $S:=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3\mid x^2+y^2+z^2=2(x+y+z-1)\}$ est une sphère, dont on déterminera le centre et le rayon.
2. Déterminer l'équation du plan tangent à $S$ en un point $(x_0,y_0,z_0)\in S$.
3. Expliciter les deux cas particuliers $(x_0,y_0,z_0)=(1,1,0)$ et $(x_0,y_0,z_0)=(1,1,2)$

Exercice 8

Trouver l'équation cartésienne et paramétrique du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point $(x_0,y_0,z_0)$ donné :

1. $z=\sqrt{19-x^2-y^2},(x_0,y_0,z_0)=(1,3,3)$ ;
2. $z=\sin (\pi xy)\exp (2x^{2}y-1),(x_0,y_0,z_0)=(1,1/2,1)$ ;
3. $z=8-x^2-y^2,(x_0,y_0,z_0)=(1,2,3)$.

Exercice 9

1. Sur le paraboloïde elliptique $z=4x^2+y^2$, trouver les points où le plan tangent est parallèle au plan $x+2y+z=6$.
2. Même question avec le plan $3x+5y-2z=3$.

Modèle:Solution Soit $S$ la surface paramétrée par $x=(1+v^2)\cos u,y=(1+v^2)\sin u,z=v$, pour $(u,v)\in [0,2\pi [\times ]-1,1[$.

Trouver l'ensemble des points de $S$ où le plan tangent est vertical. Modèle:Solution

Exercice 10

On pose $f(x,y)=x^3+y^3-x^2-y^2$.

1. Calculer le gradient $\mathrm{grad}(f)$ et la différentielle $\mathrm{D}f$ de la fonction $f$.
2. Calculer l'équation de la tangente à la courbe d'équation $f(x,y)=0$, aux points $(1,1)$, $(0,1)$ et $(1,0)$.

Exercice 11

Soit $S$ la surface d'équation $z=x+y^2$.

1. Déterminer le plan tangent à $S$ à l'origine, et la position de la surface par rapport à ce plan.
2. Mêmes questions au point $(1,1,2)$.