Calcul différentiel/Exercices/Continuité et différentiabilité de fonctions de Rp dans Rq

Exercice 1

Étudier l'existence des limites suivantes :

1. $\underset{(x,y)\to (1,-2)}{\lim }x+y^2$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{x>0}}{\lim }\ln \frac{x}{1+y^2}$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,y_0)}{x\ne 0}}{\lim }|x{|}^y$ ;
2. limites de $\sqrt{1-x^2-y^2}$ en $(0,0)$, $(1,0)$ et (?) $(1,1)$ ;
3. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{(x,y)\ne (0,0)}}{\lim }\frac{x^2{y}^2}{x^2{y}^2+(x-y{)}^2}$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{x\to 0}{x\ne 0}}{\lim }\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{y\to 0}{y\ne 0}}{\lim }(x+y)\sin \frac{1}{x}\sin \frac{1}{y}$ ;
4. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{x+y\ne 0}}{\lim }\frac{x^{2}y}{x+y}$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y,z)\to (0,0,0)}{2x^3+y{z}^2\ne 0}}{\lim }\frac{xyz+z^3}{2x^3+y{z}^2}$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{x\ne \pm y}}{\lim }\frac{x^{4}y}{x^2-y^2}$ ;
5. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{(x,y)\ne (0,0)}}{\lim }\frac{x^p{y}^q}{{(a{x}^2+b{y}^2)}^{\alpha }}$ et $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y,z)\to (0,0,0)}{(x,y,z)\ne (0,0,0)}}{\lim }\frac{x^p{y}^q{z}^r}{a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2}$ si $p,q,r\in \mathbb{N}$, $a,b,c\in {ℝ}_{+}^{*}$ et $\alpha \in ℝ$ ;
6. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{(x,y)\ne (0,0)}}{\lim }\frac{|x|+|y|}{x^2+y^2}$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{(x,y)\ne (0,0)}}{\lim }\frac{x^4+y^3-xy}{x^4+y^2}$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{x,y\ne 0}}{\lim }\frac{x^2+y^2}{|x|\sqrt{|y|}+|y|\sqrt{|x|}}$ ;
7. $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{x\ne 0}}{\lim }\frac{\sin x}{x}$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{(x,y)\ne (0,0)}}{\lim }\frac{\sin (x^{2}y)}{x^2+y^2}$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (x_0,0)}{y\ne 0}}{\lim }\frac{1-\cos (xy)}{y^2}$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{(x,y)\ne (0,0)}}{\lim }\frac{\ln (x+{\mathrm{e}}^y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$, $\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{(x,y)\to (0,0)}{(x,y)\ne (0,0)}}{\lim }\frac{x^2{\mathrm{e}}^x+y^2}{x^2+y^2}$.

Exercice 2

Justifier la différentiabilité des fonctions suivantes et calculer leurs différentielles :

$f(x,y,z)=xy+yz+zx,g(x,y,z)=(y\sin x,x\sin y),h(x,y,z)=(x^{2}z+y,xy{z}^2),k(x,y)=(x^{3}y,\cos (x-y))$.

Exercice 3

Préciser les domaines de définition et calculer les dérivées partielles premières des six fonctions suivantes :

$\ln (x+y),{\mathrm{e}}^{\frac{x}{y}},x^y,\arctan \frac{x}{y},\ln (x+\sqrt{x^2+y^2}),\sqrt{1-x^2-y^2}$.

Est-ce que ces fonctions sont de classe CModèle:Exp ou plus ? Modèle:Solution

Exercice 4

Soient $f=(f_1,\dots ,f_n):{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ différentiable en un point $a$ et $g:{ℝ}^n\to ℝ$ différentiable au point $b=f(a)$.

1. Justifier la formule suivante :

   $\mathrm{d}(g\circ f)(a)=\frac{\partial g}{\partial x_1}(b)\mathrm{d}{f}_1(a)+\frac{\partial g}{\partial x_2}(b)\mathrm{d}{f}_2(a)+\dots +\frac{\partial g}{\partial x_n}(b)\mathrm{d}{f}_n(a)$.

2. La simplifier dans le cas particulier $m=n$ et $f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{ℝ}^n}$, en notant $x_i$ (pour $1\le i\le n$) la fonction « $i$-ème coordonnée » ${ℝ}^n\to ℝ,(x_1,x_2,\dots ,x_n)\mapsto x_i$.

Exercice 5

Modèle:Wikipédia On définit le laplacien $\mathrm{\Delta }h$ d'une fonction $h$ de $n$ variables par : $\mathrm{\Delta }h=\sum _{j=1}^n\frac{{\partial }^{2}h}{\partial x_j^2}$.

Calculer le laplacien des deux fonctions $f$ et $g$ définies sur ${ℝ}^n\setminus \{0\}$ par

$f(x)=\ln \Vert x\Vert \text{et}g(x)=\Vert x{\Vert }^{\alpha }$,

où $\Vert \Vert$ désigne la norme euclidienne usuelle et $\alpha$ est un réel. Modèle:Solution

Exercice 6

Soit

$f:{ℝ}^3\to ℝ,(u,v,w)\mapsto f(u,v,w)$

une fonction différentiable. On pose

$g(x,y,z)=f(x-y,y-z,z-x)$.

1. Expliciter une fonction $h:{ℝ}^3\to {ℝ}^3:(x,y,z)\mapsto (u,v,w)=h(x,y,z)$ telle que $g=f\circ h$.
2. Calculer la matrice jacobienne de $h$,

   $J_h=\left(\begin{array}{ccc}{u}_x& u_y& u_z\\ v_x& v_y& v_z\\ w_x& w_y& w_z\end{array}\right)$.

3. En déduire une relation entre les gradients

   $\mathrm{grad}(g)=(g_x,g_y,g_z)\text{et}\mathrm{grad}(f)=(f_u,f_v,f_w)$.

4. Montrer que

   $\frac{\partial g}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial g}{\partial z}=0$.

5. Calculer les dérivées partielles de la fonction $g(x,y,z):=\frac{x-z}{y-z}$.
6. On pose $\phi (x,y,z)=(x^2-y^2,y^2-z^2,z^2-x^2)$ et $k=f\circ \phi$.
   Calculer $J_{\phi }$, $J_k$, et $\frac{\partial k}{\partial x}(t,t,t)+\frac{\partial k}{\partial y}(t,t,t)+\frac{\partial k}{\partial z}(t,t,t)$ pour tout réel $t$.

Exercice 7

Soit un vecteur non nul $v=(v_1,\dots ,v_n)\in {ℝ}^n$. Trouver toutes les fonctions $u$ différentiables sur ${ℝ}^n$ telles que

$\sum v_i\frac{\partial u}{\partial x_i}=0$.

Trouver les fonctions différentiables $u:{ℝ}^2\to ℝ$ telles que

$\mathrm{\forall }(x,y)\in {ℝ}^2\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+2x\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)=0$.

(On pourra effectuer le changement de variables $x=z,y=t+z^2$.) Modèle:Solution

Trouver toutes les fonctions deux fois différentiables $f:{ℝ}^2\to ℝ$ qui vérifient :

1. $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=0$ ;
2. $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=0$ ;
3. $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\cos (x+y)$.

Exercice 8

Soit $f:{ℝ}^2\to ℝ$ définie par :

$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y}$ si $x^2+y\ne 0$ et $f(x,-x^2)=0$.

Déterminer les [[../Différentiabilité#Exercice 15|dérivées directionnelles]] de $f$ en $(0,0)$ dans toutes les directions, et en particulier ses dérivées partielles. Montrer que $f$ n'est pas différentiable, ni même continue. Modèle:Solution

Mêmes questions pour $f(x,y)=\frac{x^3+y^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\ne (0,0)$ et $f(0,0)=0$. Modèle:Solution

Exercice 9

Soit $f:{ℝ}^2\to ℝ$ définie par :

$f(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\ne (0,0)$ et $f(0,0)=0$.

Montrer que pour toute courbe $\gamma :ℝ\to {ℝ}^2$ telle que $\gamma (0)=(0,0)$, si $\gamma$ est dérivable en $0$ alors $f\circ \gamma$ aussi — en particulier, les [[../Différentiabilité#Exercice 15|dérivées directionnelles]] de $f$ en $(0,0)$ existent dans toutes les directions — mais que $f$ n'est cependant pas différentiable en $(0,0)$.

Que dire des limites en ce point des dérivées directionnelles ? Modèle:Solution

Exercice 10

À l'aide de la formule de Laplace, calculer les dérivées partielles de l'application $\det :{\mathrm{M}}_n(ℝ)\to ℝ$ puis sa différentielle, en un point quelconque $A\in {\mathrm{M}}_n(ℝ)$. Modèle:Solution

Exercice 11

Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes et les calculer :

$k(x,y)=x^2\sin y,\ell (x,y)=\arctan (xy),f(x,y)={\mathrm{e}}^x\cos y,g(x,y)={\mathrm{e}}^{x^2+y^2}\sin (xy),h(x,y)=\sqrt{1+x^4{y}^4}$.

Exercice 12

Soient $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$ et $g:{ℝ}^2\to {ℝ}^3$ définies par

$f(x,y,z)=(x^2+y^2,xyz)\text{et}g(u,v)=(uv,u^2{v}^2,{\mathrm{e}}^v)$.

Calculer les matrices jacobiennes de $f$, $g$, $f\circ g$ et $g\circ f$. Modèle:Solution

Exercice 13

Montrer que l'application ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}\to ℝ,(x,y)\mapsto (x^2+y^3)\sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ a un prolongement continu sur ${ℝ}^2$ et étudier la différentiabilité de ce prolongement. Modèle:Solution

Exercice 14

Soient $f$ une fonction différentiable de deux variables $(u,v)$ et $g(x,y)=f(x^2-y^2,2xy)$.

Exprimer $\frac{\partial g}{\partial x}$ et $\frac{\partial g}{\partial y}$ en fonction de $\frac{\partial f}{\partial u}$ et $\frac{\partial f}{\partial v}$, puis $\mathrm{\Delta }g:=\frac{{\partial }^{2}g}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}g}{\partial y^2}$ en fonction de $\mathrm{\Delta }f$. Modèle:Solution

Exercice 15

Soit $f(x,y)=\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ si $(x,y)\ne (0,0)$ et $f(0,0)=0$.

1. Montrer que $f$ est continue sur ${ℝ}^2$.
2. Calculer ses dérivées partielles en $(0,0)$.
3. Est-elle différentiable en ce point ?

Modèle:Solution Mêmes questions pour $f(x,y)=\frac{x^{3}y}{x^4+y^2}$ si $(x,y)\ne (0,0)$ et $f(0,0)=0$. Modèle:Solution

Exercice 16

On pose $f(u,v,w)=u^2-2v-w$ et $h:{ℝ}^2\to {ℝ}^3:(x,y)\mapsto (u,v,w)=(x+y,xy,x^2+y^2)$.

1. Calculer le gradient de $f$ et la matrice jacobienne de $h$.
2. Calculer le gradient de $f\circ h$. Donner une relation entre $\mathrm{grad}(f)$, $\mathrm{grad}(f\circ h)$ et ${\mathrm{J}}_h$.

Exercice 17

Soient $I\subset ℝ$ un intervalle ouvert et $f:I\to ℝ$ une fonction de classe CModèle:Exp. On définit $g:I^2\to ℝ$ par

$g(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}& \text{si }x\ne y\\ f^{\prime }(x)& \text{si }y=x.\end{array}$

Démontrer que $g$ est continue. Modèle:Solution

Exercice 18

On considère la fonction $f:{ℝ}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto y\sqrt{x^2+y^2}$.

1. Étudier la continuité de $f$ en chaque point de ${ℝ}^2$.
2. Calculer les dérivées partielles de $f$ en chaque point où elles existent.
3. Étudier la continuité des dérivées partielles de $f$ sur ${ℝ}^2\setminus \{(0,0)\}$, puis en $(0,0)$.
4. Étudier la différentiabilité de $f$ en chaque point de ${ℝ}^2$.
5. Calculer la différentielle de $f$ au point $(3,4)$.

Exercice 19

On considère la fonction $f:{ℝ}^2\to ℝ,(x,y)\mapsto \{\begin{array}{cc}\frac{1}{x^2+y^2}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x^2+y^2}}& \text{si }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{si }(x,y)=(0,0)\end{array}$.

1. Montrer que $f$ est continue sur ${ℝ}^2$.
2. Calculer ses dérivées partielles aux points où elles existent.
3. Montrer que $f$ est de classe CModèle:Exp sur ${ℝ}^2$.
4. Calculer sa différentielle au point $(1,0)$.

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