Calcul différentiel/Devoir/Intégrales premières

Modèle:Devoir On considère l'équation différentielle

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=f(x),(1)$

où $U$ est un ouvert de ${ℝ}^n$ ($n\ge 2$) et $f=(f_1,\dots ,f_n):U\to {ℝ}^n$ une application de classe CModèle:Exp.

Dans tout le problème, on désignera par :

• $a=(a_1,\dots ,a_n)$ un point fixé de $U$ tel que $f_1(a)\ne 0$ ;
• $x=(t,(x_2,\dots ,x_n))=(t,y)$ les coordonnées dans $U$.

1°)

a) Soient $W$ un ouvert de $U$ et $F:W\to ℝ$ une fonction CModèle:Exp. On dit que $F$ est une intégrale première de $(1)$ (sur $W$) si pour toute solution $\phi :I\to W$ de $(1)$, la fonction $F\circ \phi$ est constante. Montrer que si $H_1,\dots ,H_p$ sont des intégrales premières de $(1)$ et si $K$ est une fonction CModèle:Exp de ${ℝ}^p$ dans $ℝ$ alors $K\circ (H_1,\dots ,H_p)$ est une intégrale première de $(1)$.

b) Montrer que si $F$ est une intégrale première de $(1)$, $F(\mathrm{\Phi }(t,z))$ est indépendant de $t$ (pour tout $z\in U$).

c) En déduire que toute intégrale première de $(1)$ est solution de l'équation aux dérivées partielles

$\mathrm{D}F(z)(f(z))=\sum _{i=1}^n{f}_i(z){\mathrm{D}}_{i}F(z)=0.(2)$

($\mathrm{D}F(x)$ désigne la dérivée de $F$ en $x$, et les ${\mathrm{D}}_{i}F$ sont les dérivées partielles de $F$).

d) Démontrer la réciproque de c).

2°) On pose $\mathrm{\Psi }(t,y)=\mathrm{\Phi }(t,(a_1,y))$. ($\mathrm{\Psi }$ est donc définie sur un voisinage $V$ de $a$). Soit $F$ une fonction CModèle:Exp de $W_2$ dans $ℝ$.

a) Montrer qu'il existe deux voisinages de $a$, $W_1\subset V$ et $W_2\subset U$, tels que $\mathrm{\Psi }$ induise un difféomorphisme CModèle:Exp de $W_1$ sur $W_2$.

b) En déduire que si $F(\mathrm{\Psi }(t,y))$ est indépendant de $t$ alors $F$ est solution de $(2)$.

c) En déduire (en utilisant la question 1) que $F$ est une intégrale première de $(1)$ si et seulement si $F(\mathrm{\Psi }(t,y))$ est indépendant de $t$.

3°) Sur $W_2$ on pose ${\mathrm{\Psi }}^{-1}=(F_1,\dots ,F_n)$.

a) Pourquoi les différentielles $\mathrm{D}{F}_2(x),\dots ,\mathrm{D}{F}_n(x)$ sont-elles linéairement indépendantes en tout point $x$ de $W_2$ ?

b) Pourquoi $F_2,\dots ,F_n$ sont-elles des intégrales premières de $(1)$ ?

c) Notons $\mathrm{\Omega }=(F_2,\dots ,F_n)(W_2)\subset {ℝ}^{n-1}$. Déduire de 2.c) que pour toute intégrale première $F$ de $(1)$ sur $W_2$, il existe une fonction $G:\mathrm{\Omega }\to ℝ$ de classe CModèle:Exp telle que $F=G\circ (F_2\dots ,F_n)$.

4°)

a) Soient $E$ un espace de Banach, $W$ un ouvert de $E$, $A$ et $B$ deux fonctions CModèle:Exp de $W$ dans ${ℝ}^k$, et $\mathrm{\Omega }=A(W)$. On suppose que :

• en tout point $x$ de $W$, les différentielles $\mathrm{D}A(x)$ et $\mathrm{D}B(x)$ sont de rang $k$ ;
• il existe une application CModèle:Exp, $C:\mathrm{\Omega }\to {ℝ}^k$ telle que $B=C\circ A$.

Montrer qu'alors, $\mathrm{\Omega }$ est un ouvert de ${ℝ}^k$ et $C$ est un difféomorphisme local.

b) Soient $H_2,\dots ,H_n$ des intégrales premières de $(1)$ sur $W_2$ dont les différentielles sont linéairement indépendantes en tout point de $W_2$. Déduire de 3 et de 4.a que toute intégrale première sur $W_2$ est (localement) de la forme $K\circ (H_2,\dots ,H_n)$ avec $K$ de classe CModèle:Exp.

c) Donner une méthode générale de résolution locale de l'équation aux dérivées partielles $(2)$. Comme application, résoudre au voisinage de $a=(0,0,1)$ l'équation aux dérivées partielles (associée à l'[[../../Exercices/Équations différentielles linéaires#Exercice 7|exercice 7 sur les équations différentielles linéaires]]) :

$3x\frac{\partial F}{\partial x}+(2y+z)\frac{\partial F}{\partial y}+2z\frac{\partial F}{\partial z}=0$.