Calcul avec les nombres complexes/Opérations sous forme algébrique

Modèle:Clr Les nombres complexes respectent les règles valables pour les quatre opérations sur les nombres réels (addition, soustraction, multiplication et division).

Addition

Exemples

La soustraction se fait de la même manière : Modèle:Exemple

Multiplication

Cette formule n'a pas à être retenue par cœur : il est plus facile de refaire le calcul dans chaque exemple.

Puissances de i

La propriété de i que nous allons voir ici est assez simple mais il ne faut pas l'oublier pour les calculs par la suite.

Sachant que ${\mathrm{i}}^2=-1$, voici le calcul des autres puissances de $\mathrm{i}$ :

• ${\mathrm{i}}^{-1}=-\mathrm{i}$ car ${\mathrm{i}}^{-1}=\frac{1}{\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}}{{\mathrm{i}}^2}=\frac{i}{-1}=-\mathrm{i}$
• ${\mathrm{i}}^0=+1$
• ${\mathrm{i}}^1=+\mathrm{i}$
• ${\mathrm{i}}^2=-1$
• ${\mathrm{i}}^3=i^2\times \mathrm{i}=-\mathrm{i}$
• ${\mathrm{i}}^4={\mathrm{i}}^2\times {\mathrm{i}}^2=+1$
• ${\mathrm{i}}^5={\mathrm{i}}^4\times \mathrm{i}=+\mathrm{i}$
• ${\mathrm{i}}^6={\mathrm{i}}^4\times {\mathrm{i}}^2=-1$

etc.

La représentation des images des puissances de i dans le plan complexe sont les quatre intersections des axes avec le cercle trigonométrique.

Division

La division de deux nombres complexes sous forme algébrique utilise la notion de complexe conjugué, qui fait l’objet d'un chapitre spécifique.

Exemple de manipulation des complexes : résolution des équations du second degré

Les nombres complexes ont été inventés car ils permettent (entre autres) de résoudre toutes les équations du second degré, même celles qui ont un discriminant négatif.

Vous pouvez vous référer au cours sur les équations du second degré si nécessaire.