Calcul avec les nombres complexes/Module et argument

Module d’un nombre complexe

Définition

Modèle:Définition

Modèle:Démonstration déroulante

Distance entre deux points

Modèle:Théorème

Modèle:Démonstration déroulante
Modèle:Exemple

Écriture trigonométrique

Cosinus et sinus

Soit $z=x+iy$ un nombre complexe non nul, son module $|z|$, d'argument principal $\theta$, et M le point d'affixe z.

On considère le triangle dans le plan complexe, formé par l'origine, M et son projeté orthogonal sur l’axe des réels.

Les calculs respectivement du cosinus et du sinus d’une mesure de l'angle orienté $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM})$ donnent les deux propriétés suivantes :

Forme trigonométrique

On sait que : $\cos (\theta )=\frac{x}{|z|}\iff x=|z|\cos (\theta )$ et $\sin (\theta )=\frac{y}{|z|}\iff y=|z|\sin (\theta )$.

Et on a alors : $z=x+iy=|z|\cos (\theta )+i|z|\sin (\theta )=|z|(\cos (\theta )+i\sin (\theta ))$.

Changer d'écriture

Soit z un nombre complexe non nul, sous la forme $z=x+iy$, de module $|z|$ et d'argument principal $\theta$.

Les propriétés énoncées lors des calculs du cosinus et du sinus permettent de passer d’une écriture à une autre : Modèle:Propriété Modèle:Exemple

Propriétés algébriques de l'argument

Produit

Modèle:Définition

Calcul de l'argument

Calcul avec le cosinus et le sinus

Connaissant la partie réelle et imaginaire d’un nombre complexe, on peut calculer son $\cos (\theta )$ et son $\sin (\theta )$. Modèle:Propriété

Il faut ensuite en déduire un angle $\theta$ en « reconnaissant » les valeurs usuelles de cosinus et sinus. Modèle:Exemple

Calcul avec la tangente

L'argument est alors déterminé à $\pi$ près, il faut décider entre $\theta$ et $\theta +\pi$ en utilisant le signe de $x$ (généralement, on cherche la mesure principale, c’est celle qui est dans ]-$\pi ;\pi$] ):

• si $x>0$ alors $\theta$ est dans $]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$
• si $x=0$ alors si $y>0$ alors $\theta =\frac{\pi }{2}$ et si $y<0$ alors $\theta =-\frac{\pi }{2}$

• si $x<0$ alors $\theta$ est dans $]-\pi ;\frac{-\pi }{2}]\cup ]\frac{\pi }{2};\pi ]$

Remarque : Une rapide représentation des complexes $1$, $-1$, $i$ et $-i$ sur le cercle trigonométrique permet de synthétiser les règles précédentes.
Remarque : Les calculatrices renvoient généralement l'angle dans $]-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$ mais ce résultat doit être révisé suivant la règle ci-dessus. Notons qu'en électricité, l'argument est :

Inférieur ou égal à $\pi /2$ pour les montages du premier ordre (RC ou RL).

Inférieur ou égal à $\pi$ pour les montages du second ordre (RLC).

Inférieur ou égal à $3\pi /2$ pour les montages du troisième ordre.

Inférieur ou égal à $2\pi$ pour les montages du quatrième ordre. Il faut donc impérativement tenir compte des modifications des remarques précédentes, en particulier pour l'étude de la stabilité des systèmes bouclés (se référer aux cours d'automatique).
Remarque: En électronique la phase est fonction de la fréquence du signal qui parcourt le système.

Argument d’une différence