Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les modules et arguments

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Exercice 2-1

Soient $z,u\in ℂ$, avec $u\ne 1$. Démontrer que $\frac{z-u\overline{z}}{1-u}$ est réel si et seulement si $|u|=1$ ou $z\in ℝ$. Modèle:Solution

Exercice 2-2

$z$ et $z^{\prime }$ désignent des nombres complexes, Montrer que :

$|z+z^{\prime }{|}^2+|z-z^{\prime }{|}^2=2({\left|z\right|}^2+{\left|z^{\prime }\right|}^2)$.

Exercice 2-3

Déterminer les nombres complexes non nuls $z$ tels que $z$, $\frac{1}{z}$ et $1+z$ aient même module. Modèle:Solution

Exercice 2-4

Déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^2$, $1-z$ et $\overline{z}$ aient même module. Modèle:Solution

Exercice 2-5

Soit $\alpha \in ]0,2\pi [$. Calculer le module et l'argument de :

$z=\frac{1+\cos \alpha +\mathrm{i}\sin \alpha }{1-\cos \alpha -\mathrm{i}\sin \alpha }$.

Exercice 2-6

Calculer le module et l'argument de :

a)  $1+\cos \alpha +\mathrm{i}\sin \alpha$

b)  $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha }+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\beta }}{1+{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\alpha +\beta )}}$

où $\alpha$ et $\beta$ sont deux réels donnés. On donnera la condition pour que la deuxième expression soit définie.

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