Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les fonctions complexes

Exercice 8-1

Soit $f$ l'application de $ℂ$ dans $ℂ$ définie par :

$\mathrm{\forall }z\in ℂf(z)=\frac{1}{2}z+\frac{\mathrm{i}}{2}\overline{z}$.

1°  Préciser l'application $f\circ f$ et déterminer les deux ensembles suivants :

$I_f=\{z\in ℂ\mid f(z)=z\}\text{et}{N}_f=\{z\in ℂ\mid f(z)=0\}$.

2°  Soit $𝒫$ le plan rapporté au repère orthonormal $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

À chaque nombre complexe on associe son point image dans $𝒫$.

Soit $F$ l’application de $𝒫$ dans $𝒫$ qui, au point $M$ image de $z$, associe le point $M^{\prime }$ d'affixe $f(z)$.

a)  Préciser $F\circ F$ et déterminer les deux ensembles suivants :

$𝒟=\{M\in 𝒫\mid F(M)=M\}\text{et}\mathrm{\Delta }=\{M\in 𝒫\mid F(M)=O\}$.

b)  Démontrer que pour tout point $M$ de $𝒫$, le point $F(M)$ appartient à $𝒟$ et que pour tout point $M$ de $𝒫$ n'appartenant pas à $𝒟$, la droite $(M,F(M))$ est parallèle à $\mathrm{\Delta }$.

En déduire la nature de $F$.

Exercice 8-2

Soit $f$ l'application de $ℂ$ dans $ℂ$ qui à tout nombre complexe associe le cube de son conjugué :

$f(z)={\overline{z}}^3$.

1°  Quel est l’ensemble des nombres $z$ tel que $f(z)=\overline{z}$ ?

2°  Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ on désigne par M et M' les points d'affixes respectives $z$ et $f(z)$.

a)  Quel est l'ensemble des points M tels que le triangle MOM' soit rectangle en O ?

b)  Quel est l'ensemble des points M tels que M, O et M' soient alignés ?

3°  Déterminer l'ensemble des nombres complexes images par $f$ des nombres complexes de module $1$.

4°  Déterminer et représenter dans le plan complexe les points M, d'affixe $z$ telle que $f(z)=\mathrm{i}$. Modèle:Solution

Exercice 8-3

Soit $f$ l'application de $E=ℂ\setminus \{-\mathrm{i}\}$ dans $ℂ$ définie par :

$z\mapsto f(z)=\frac{\mathrm{i}z}{z+\mathrm{i}}$.

Dans le plan euclidien, on note M le point d'affixe $z$.

1°  Déterminer les coordonnées du point B dont l'affixe $z_0$ est telle que $f(z_0)=1+2\mathrm{i}$.

2°  Soit $z$ un élément de $E$. On note $r$ le module de $z+\mathrm{i}$ et $\alpha$ une mesure de son argument.

Exprimer la forme trigonométrique de $f(z)-\mathrm{i}$ en fonction de $r$ et de $\alpha$.

3°  Soit A le point d'affixe $-\mathrm{i}$.

a)  Déterminer :

• l'ensemble $𝒞$ des points M vérifiant $|f(z)-\mathrm{i}|=\sqrt{2}$ ;
• l'ensemble $𝒟$ des points M tels que $\frac{\pi }{4}$ soit une mesure de l'argument de $f(z)-\mathrm{i}$.

b)  Montrer que B appartient à $𝒞$ et $𝒟$ et construire $𝒞$ et $𝒟$.

Exercice 8-4

Soient $1$, $\mathrm{j}$ et ${\mathrm{j}}^2$ les racines cubiques de l'unité, où $\mathrm{j}=\cos \frac{2\pi }{3}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{3}$.

1°  Soit, pour tout $z$ complexe :

$\phi (z)=(z-\mathrm{j})(z-\overline{\mathrm{j}})$.

Vérifier que $\phi (z)=1+z+z^2$.

2°  Soit M l'image de $z$ dans le plan complexe. Déterminer et construire :

• l'ensemble $E$ des points M tels que $\phi (z)$ soit réel ;
• l'ensemble $F$ des point M tels que $\phi (z)$ soit imaginaire pur et le sous-ensemble de ceux tels que $\phi (z)$ ait pour argument $\frac{\pi }{2}$.

3°  Déterminer $E\cap F$, en justifiant le résultat. Modèle:Solution

Exercice 8-5

Soit $f$ l'application du plan complexe dans lui-même qui, au point M d'affixe $z$, associe M' d'affixe :

$z^{\prime }=(2+\frac{3}{2}\mathrm{i})z-\frac{5}{2}\mathrm{i}\overline{z}$.

1°  Calculer les coordonnées $(x^{\prime },y^{\prime })$ de M' en fonction des coordonnées $(x,y)$ de M.

Déterminer l'ensemble des points M'.

2°  Calculer le module de $z^{\prime }$ en fonction de $(x,y)$.

Déterminer et représenter l'ensemble des point M tels que $|z^{\prime }|=\sqrt{5}$.

3°  Déterminer et représenter l'ensemble des points M tels que O, M, M', soient alignés. Modèle:Solution