Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Sur les calculs algébriques

Exercice 1-1

1°  Calculez ${(\frac{1}{2}+\mathrm{i}\sqrt{3})}^4$.

2°  Déterminez les nombres complexes $z$ tels que

$z^4=\frac{73}{16}-\frac{11}{2}\mathrm{i}\sqrt{3}$.

Exercice 1-2

Le conjugué d'un élément $z$ de $ℂ$ est noté $\overline{z}$. Soit E l'ensemble des éléments $u$ de $ℂ$ tels que :

$u+\overline{u}+u\overline{u}=0$.

Représenter l'ensemble des images des éléments de E dans le plan complexe. Modèle:Solution

Exercice 1-3

Soit $f(z)=\frac{z^2+z+1}{z^3+z^2+1}$.

Calculer $f(1+\mathrm{i})$ et $f(1-\mathrm{i})$. Modèle:Solution

Exercice 1-4

Soient $a,b\in \mathbb{Z}$ et $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Trouver un couple $(x,y)\in {\mathbb{Z}}^2$ tel que

$x^2+y^2={(a^2+b^2)}^n$.

Exercice 1-5

Calculez $\sum _{k=0}^{n-1}{\mathrm{i}}^k$. Modèle:Solution

Exercice 1-6

Donnez la forme cartésienne $a+\mathrm{i}b$ des nombres qui suivent, ainsi que de leurs inverses :

$(1+\mathrm{i}{)}^2$, $(1-\mathrm{i}{)}^2$, $(2+\mathrm{i}{)}^2$, $(2-\mathrm{i}{)}^2$, $(3+4\mathrm{i}{)}^2$, $(3-4\mathrm{i}{)}^2$, $(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i}{)}^{-1}$, $(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i}{)}^{-1}$,

$(3+4\mathrm{i})(1+\mathrm{i}{)}^{-1}$, $3{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /3}$, $(3+4\mathrm{i}{)}^2(4+3\mathrm{i}{)}^{-2}$, $(3-4\mathrm{i}{)}^2(4-3\mathrm{i}{)}^{-2}$, $(3-4\mathrm{i})(1-\mathrm{i}{)}^{-1}$.

Exercice 1-7

Donnez la forme polaire $r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ des nombres suivants, de leurs conjugués et de leurs inverses :

$1+\mathrm{i}$, $(1+\mathrm{i}{)}^2$, $(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i}{)}^{-1}$, $1+\mathrm{i}\sqrt{3}$, $\sqrt{3}+\mathrm{i}$,

$(1+\mathrm{i}\sqrt{3})(1+\mathrm{i}{)}^{-1}$, $(1+\mathrm{i}\sqrt{3})(\sqrt{3}+\mathrm{i}{)}^{-1}$, $-\sqrt{3}+\mathrm{i}$, $-1-\mathrm{i}$.

Modèle:Solution Donnez les racines carrées des nombres précédents et la forme cartésienne des racines carrées des nombres suivants, de celles de leurs conjugués et de celles de leurs inverses :

$8+6\mathrm{i}$, $5+12\mathrm{i}$, $9+40\mathrm{i}$, $16+30\mathrm{i}$.

Exercice 1-8

Soit $z\in ℂ\setminus {ℝ}_{-}$. On pose $v=z+|z|$.

Montrer que les racines carrées de $z$ sont $\pm \frac{v}{\sqrt{2\mathrm{Re}(v)}}$