Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Réels et imaginaires purs

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Modèle:Exercice

Modèle:Clr

Exercice 3-1

Comment choisir l’entier naturel n pour que :

(3+i)n

1°  soit un réel positif ?

2°  soit un imaginaire pur ? Modèle:Solution


Exercice 3-2

z étant un nombre complexe non réel, on considère les nombres z1 et z2 définis par :

{z1=z2z+1z2=1z(z+1).

Déterminez z tel que z1 et z2 soient tous deux réels. Dans ce cas, déterminez z1 et z2. Modèle:Solution

Exercice 3-3

Soient z et z′ deux nombres complexes. On suppose z≠0.

  1. Démontrez que |z+z′|=|z|+|z′|⇔z′z∈ℝ+.
  2. Étudiez de même : |z+z′|=|z|−|z′|.

Modèle:Solution

Exercice 3-4

1°  Déterminez l’ensemble des valeurs de z, nombre complexe, pour lesquelles Z:=z+4iz¯−4i est défini. Dans ce cas, calculez |Z|.

2°  Déterminez l'ensemble des valeurs de z :

  1. pour lesquelles Z est réel ;
  2. pour lesquelles Z est imaginaire pur.

Modèle:Solution

Exercice 3-5

Soit f l'application de ℂ dans ℂ définie par :

f(z)=(z−1)(z¯−i).

Soit M l'image de z dans le plan complexe.

1°  Déterminez l'ensemble des points M tels que f(z) soit réel.

2°  Déterminez l'ensemble des points M tels que f(z) soit imaginaire pur. Modèle:Solution

Exercice 3-6

Soit f l'application de ℂ∖{+1} dans ℂ définie par :

f(z)=z+1z¯−1

Soit M l'image de z dans le plan complexe.

1°  Déterminez l'ensemble des points M tels que f(z) soit réel.

2°  Déterminez l'ensemble des points M tels que f(z) soit imaginaire pur. Modèle:Solution

Exercice 3-7

1°  Soit n, entier naturel. Démontrez que :

(1+i)n+(1−i)n est réel ;
(1+i)n−(1−i)n est imaginaire pur.

2°  Calculez : (n0)−(n2)+(n4)−(n6)+⋯ et (n1)−(n3)+(n5)−(n7)+⋯.

Chaque somme est finie ; le dernier terme dépend de la parité de n.

Modèle:Solution

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