Calcul avec les nombres complexes/Exercices/Divers

Exercice 9-1

Soit $(z_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ la suite de nombres complexes définie par la donnée de $z_0=2\sqrt{2}(-1+\mathrm{i})$ et les conditions suivantes : Pour tout entier naturel $n$, un représentant de l'argument de $z_{n+1}$ appartient à l'intervalle $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ et $z_{n+1}^4=z_n$

1°  Déterminer le module et un argument de $z_1$.

2°  On pose $r_n=|z_n|$ et $v_n=\ln r_n$, où $\ln r_n$ désigne le logarithme népérien de $r_n$. Montrer que $(v_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique.

Exercice 9-2

Pour $t$ réel fixé, soit l'équation :

$16t^2{z}^2-4(1+2\mathrm{i}t)z-{(t-\mathrm{i})}^2=0$.

1°  Pour tout $t$, démontrer qu'il existe une unique solution $z$ réelle puis résoudre l'équation dans $ℂ$.

2°  Soit $z_t$, lorsqu'elle existe, l'autre solution, et $M_t$ son image dans le plan complexe.

Déterminer l'ensemble décrit par $M_t$.

Exercice 9-3

Soient $z\in {ℂ}^{*}$ et M l'image de $z$.

1°  Démontrer que $\frac{2z-1}{z^2}$ est réel si, et seulement si :

$z=\overline{z}$ ou $2z\overline{z}=z+\overline{z}$.

2°  Déterminer l'ensemble des points M tels que :

$2z\overline{z}=z+\overline{z}$.

3°  Dans ce cas, calculer $|z|$, puis $\frac{2z-1}{z^2}$ en fonction de $\theta$, argument de $z$.

Exercice 9-4

Résoudre dans ${𝒰}^3$, où $𝒰$ désigne l'ensemble des nombres complexes de module $1$ :

$\{\begin{array}{c}z+z^{\prime }+z^{″}=1\\ z{z}^{\prime }{z}^{″}=1.\end{array}$