Calcul avec les nombres complexes/Écriture exponentielle et trigonométrique

Il existe une seconde forme d'écriture des complexes.

L'écriture exponentielle d’un nombre complexe permet d'extraire du premier coup d’œil son module et son argument, et permet aussi de mémoriser plus aisément les propriétés vues dans le chapitre précédent sur les modules et les arguments.

Notation exponentielle

Formule d'Euler

Modèle:Définition Voir l'annexe « [[../Annexe/Démonstration de la formule d'Euler|Démonstration de la formule d'Euler]] ».

On remarque tout d’abord la périodicité : $\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\theta +2k\pi )}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$. Les valeurs particulières, qui sont les intersections du cercle trigonométrique avec les axes des réels et des imaginaires, sont : ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}0}={\mathrm{e}}^0=1$, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi }=\cos \pi +\mathrm{i}\sin \pi =-1$, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\pi /2}=\cos (\pi /2)+\mathrm{i}\sin (\pi /2)=\mathrm{i}$, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(-\pi /2)}=\cos (-\pi /2)+\mathrm{i}\sin (-\pi /2)=-\mathrm{i}$, ${\mathrm{e}}^{\mathrm{-}i(\pi /2)}=\cos (\pi /2)-\mathrm{i}\sin (\pi /2)=-\mathrm{i}$.

Valeurs particulières du cercle trigonométrique

Écriture exponentielle

Pour tout nombre complexe $z$ non nul, de module $r$ et d'argument principal $\theta$, on a : $z=r(\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta )=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$.

Conjugué

Le conjugué d’un nombre complexe.

Propriétés des arguments et des modules

Soit z et z' deux nombres complexes non nuls sous la forme exponentielle : $z=r{e}^{i\theta }$ et $z^{\prime }=r^{\prime }{e}^{i{\theta }^{\prime }}$ avec $r>0$ et $r^{\prime }>0$.

Nous allons maintenant revoir toutes les propriétés des arguments et des modules du chapitre précédent, qui seront maintenant plus faciles à comprendre et à se souvenir grâce à la notation exponentielle.

Produit

Produit de deux nombres complexes dans le cas général.

Carré d’un nombre complexe.

Opposé d’un nombre complexe.

Inverse et division

Inverse d’un nombre complexe.

Division de deux nombres complexes.

Puissance

Soit $n\in \mathbb{Z}$. Si $n\ge 0$ : $z^n=(r{e}^{i\theta }{)}^n=r^n(e^{i\theta }{)}^n=r^n{e}^{in\theta }$. Si $n<0$, alors $-n>0$, d'où avec la propriété précédente $z^{-n}=r^{-n}{e}^{i(-n)\theta }$, et on a : $z^{-n}=\frac{1}{z^n}\iff z^n=\frac{1}{z^{-n}}=\frac{1}{r^{-n}{e}^{i(-n)\theta }}=\frac{1}{r^{-n}}{e}^{-(i(-n)\theta )}=r^n{e}^{in\theta }$ car $z^n\ne 0$ et $z^{-n}\ne 0$.

Les 10 premières puissances d’un nombre complexe. Ici le module tend vers 0 car le complexe en question se trouve à l'intérieur du cercle trigonométrique. S'il avait été à l’extérieur, le module aurait tendu vers l'infini.

Exemples

Calculer le cosinus et le sinus d’un angle

On peut aussi utiliser ces propriétés pour calculer exactement un cosinus ou un sinus d’un angle $\theta$.

Pour cela, il suffit juste de connaître deux angles a et b dont leur somme est égale à $\theta$, et de connaître leurs cosinus et sinus.

Voici ensuite la démarche à suivre :

• On a $a+b=\theta$ et on connaît $cos(a)$, $sin(a)$, $cos(b)$ et $sin(b)$.
• Pour simplifier, on prend un module de 1 (les points sont sur le cercle trigonométrique).
• Formule d'Euler : $e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )$.
• $e^{i\theta }=e^{i(a+b)}=e^{ia}{e}^{ib}=(\cos (a)+i\sin (a))(\cos (b)+i\sin (b))$.
• Trouver les valeurs algébriques (cartésiennes) des deux nombres complexes qui correspondent à un module de 1 et à un argument respectivement de a et de b :
  $\cos (a)+i\sin (a)=x+iy$ et $\cos (b)+i\sin (b)=x^{\prime }+i{y}^{\prime }$. La réussite de l'exercice dépend de cette étape.
• Multiplier ces deux nombres complexes sous leur forme algébrique : $e^{ia}{e}^{ib}=(x+iy)(x^{\prime }+i{y}^{\prime })=x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime }+i(x^{\prime }y+x{y}^{\prime })$.
• $e^{i\theta }=\cos (\theta )+i\sin (\theta )=e^{ia}{e}^{ib}=x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime }+i(x^{\prime }y+x{y}^{\prime })$.
• On identifie, en séparant les parties réelles et imaginaires :
  $\cos (\theta )=x{x}^{\prime }-y{y}^{\prime }$ et $\sin (\theta )=x^{\prime }y+x{y}^{\prime }$.

Ce qui nous amène à traiter le cas général : les formules d'addition des cosinus et des sinus.

Formules d'addition des cosinus et sinus

Ce résultat est à mettre en relation avec le produit de deux nombres complexes : $(x_1+i{y}_1)(x_2+i{y}_2)=x_1{x}_2+x_{1}i{y}_2+i{y}_1{x}_2+i^2{y}_1{y}_2=x_1{x}_2-y_1{y}_2+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)$. On peut ainsi se souvenir des formules d'addition en remplaçant les x par des cos, les y par des sin, et bien sûr avec $i^2=-1$ !

Cette méthode permet aussi de retrouver par exemple $cos(a+b+c)$ ou encore $sin(-a-b+c+d+e-f)$, en développant des formules plus compliquées.