Barycentre/Travail pratique/Barycentre de 3 points ou plus

Les boîtes déroulantes intitulées «  Coup de pouce » contiennent des éléments essentiels de cours ou des méthodes qui doivent être absolument maîtrisées. Si vous ne savez pas comment vous y prendre et que vous avez besoin d'y jeter un œil, relisez le cours après avoir fait l'exercice.

Localisation

Soient A, B et C trois points du plan et α, β, γ trois réels tels que $\alpha +\beta +\gamma \ne 0$.

On note G le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},\alpha ),(\mathrm{B},\beta ),(\mathrm{C},\gamma )\}$.

1. Démontrer que $\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{G}}=\frac{\beta \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{B}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}}{\alpha +\beta +\gamma }$
2. Par une démonstration analogue, exprimer $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{G}}$ en fonction de $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{A}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}$
3. Enfin, exprimer $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{G}}$ en fonction de $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{A}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{B}}$

Égalité valable en tout point

Soient A, B et C trois points du plan et α, β, γ trois réels tels que $\alpha +\beta +\gamma \ne 0$.

On note G le barycentre du système de points pondérés $\{(\mathrm{A},\alpha ),(\mathrm{B},\beta ),(\mathrm{C},\gamma )\}$.

Montrer que, pour tout point M, on a l'égalité $\alpha \overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{A}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{B}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{C}}=(\alpha +\beta +\gamma )\overrightarrow{\mathrm{M}\mathrm{G}}$