Axiomes de Peano

Les axiomes de Peano

L'ensemble des entiers naturels, noté $\mathbb{N}$, est défini par les axiomes de Peano :

• (P1) : L'ensemble possède un élément particulier que l’on note 0.
• (P2) : Chaque élément n possède un successeur que l’on note S(n).
• (P3) : 0 n'est le successeur d'aucun élément.
• (P4) : L'application $S:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ est injective, c'est-à-dire que si deux éléments ont le même successeur, ils sont égaux.
• (P5) : Toute partie de $\mathbb{N}$ contenant 0 et stable par S est égale à $\mathbb{N}$ tout entier (axiome de récurrence).

Suite définie par une relation de récurrence

Modèle:Théorème Modèle:Démonstration déroulante On en déduit la généralisation suivante : Modèle:Corollaire Modèle:Démonstration déroulante

Addition et multiplication

On peut ensuite définir l'addition de la façon suivante. Pour un élément $m\in \mathbb{N}$, le théorème ci-dessus permet de définir la suite $(m+n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ par :

$\{\begin{array}{cc}& m+0=m\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}& m+S(n)=S(m+n).\end{array}$

On pose $1=S(0)$. On remarque alors que $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}n+1=S(n)$.

On peut définir de même la multiplication. Pour un élément $m\in \mathbb{N}$, la suite $(m\times n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ est définie par :

$\{\begin{array}{cc}& m\times 0=0\\ \mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}& m\times S(n)=(m\times n)+m.\end{array}$.
L'entier $m\times n$ est également noté $mn$.

Les axiomes de Peano permettent de démontrer, et non plus d'admettre, toutes les propriétés des deux opérations de base. Ainsi, on démontre :

• pour l'addition :
  • l'associativité,
  • la neutralité de 0,
  • la commutativité.

  On résume ces trois propriétés en disant que $(\mathbb{N},+)$ est un monoïde commutatif ;

• pour la multiplication :
  • la commutativité,
  • l'associativité,
  • la distributivité,
  • la neutralité de 1.

Quelques autres conséquences

• On peut définir l'ordre usuel par : $\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}(a\le b\iff \mathrm{\exists }c\in \mathbb{N}b=a+c)$. On vérifie alors (exercice) que ≤ est bien une relation d'ordre et que 0 est le plus petit entier naturel. On démontre aussi (par récurrence sur $b$, pour $a$ fixé) que pour tous $a,b\in \mathbb{N}$, il existe $c\in \mathbb{N}$ tel que $a=b+c$ ou $b=a+c$. Autrement dit : l'ordre est total.
• On peut enfin énoncer le théorème de récurrence, qui est une version affaiblie de l'axiome (P5) : si $𝒫$ est un prédicat dans le langage du premier ordre sur $\{0,+,\times ,\le \}$ tel que :
  • $𝒫(0)$ est vraie — c'est l'initialisation de la récurrence,
  • $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}[𝒫(n)\Rightarrow 𝒫(\sigma (n))]$ — c'est l'hérédité,

  alors $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}𝒫(n)$ est vrai.

Axiomatisation équivalente

Les axiomes P1 à P5 ci-dessus (associés à la définition de ≤ qu'ils permettent) sont équivalents à :

$(\mathbb{N},\le )$ est un ensemble ordonné non vide vérifiant :

• (N1) : Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ admet un plus petit élément,
• (N2) : Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{N}$ admet un plus grand élément,
• (N3) : $\mathbb{N}$ lui-même n'a pas de plus grand élément.