Arithmétique/Exercices/Théorème de Gauss

Exercice 5-1

a est le nombre a = n(n² + 5), n étant un entier naturel.

1. Démontrer que a est divisible par 2.
2. Démontrer que a est divisible par 3.
3. Que pouvez-vous déduire des deux questions précédentes ?

Exercice 5-2

n est un entier relatif. Prouvez que n(2n + 1)(7n + 1) est divisible par 6. Modèle:Solution

Exercice 5-3

n est un entier relatif. Prouvez que :

1° n(n + 1)(n + 2)(n + 3) est divisible par 24 ;

2° n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120. Modèle:Solution

Exercice 5-4

1. Démontrer que le produit de trois entiers consécutifs est un multiple de 6.
2. Soient n un entier naturel et x l'entier : x = n(n + 1)(n + 2)(n + 3). Écrivez $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+3}{4})$ à l'aide de x et déduisez-en que x est un multiple de 4!.
3. Soient n et p des entiers strictement positifs. Démontrer que y = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)…(n + p – 1) est un multiple de p!.

Exercice 5-5

a et b sont des entiers naturels.

1. Montrer que a⁵ – a est divisible par 10.
2. Démontrer que si a⁵ – b⁵ est divisible par 10, alors a² – b² est divisible par 20.

Exercice 5-6

n est un entier naturel.

Prouvez que n²(n² – 1)(n² + 1) est divisible par 60. Modèle:Solution

Exercice 5-7

n et p sont des entiers strictement positifs. Démontrer que :

1° n(n⁴ – 1) est divisible par 30 ;

2° l'écriture décimale de n^p et n^p+4 se termine à droite par le même chiffre. Modèle:Solution

Exercice 5-8

a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux tels que b > 1. On note b₁ < b₂ < … < b_n les entiers naturels inférieurs à b et premiers avec b.

1. Démontrer que les éléments de l'ensemble E = {b₁a, b₂a, b₃a, … , b_na} sont premiers avec b.
2. Démontrer qu'en divisant par b deux éléments quelconques de l'ensemble E, on obtient des restes différents et premiers avec b. Quel est alors l'ensemble des restes ?