Arithmétique/Exercices/Multiples et diviseurs

Exercice 2-1

a est un entier relatif. Démontrer que a(a² – 1) est un multiple de 6. Modèle:Solution

Exercice 2-2

Trouver tous les couples d'entiers relatifs x et y dont la somme est un multiple du produit. Modèle:Solution

Exercice 2-3

Trouver tous les entiers naturels x, y, z tels que :

$xyz=4(x+y+z)$.

Aide : Supposer que z est le plus grand. Prouver alors que xy ⩽ 12. Modèle:Solution

Exercice 2-4

n est un entier, montrer que n(n⁶ – 1) est divisible par 7. Modèle:Solution

Exercice 2-5

n est un entier, montrer que 3²ⁿ – 2ⁿ est divisible par 7. Modèle:Solution

Exercice 2-6

Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien, c'est-à-dire un triplet d'entiers vérifiant la relation de Pythagore aModèle:Exp + bModèle:Exp = cModèle:Exp. Montrer que :

1. a ou b est divisible par 3 ;
2. a, b ou c est divisible par 5 ;
3. a ou b est divisible par 4.

Exercice 2-7

a et b sont deux entiers relatifs. Démontrer que si a² + b² est divisible par 7, alors a est divisible par 7 et b est divisible par 7. Modèle:Solution

Exercice 2-8

Démontrer que pour tout entier naturel impair n, la somme de n nombres consécutifs est un multiple de n. Modèle:Solution

Exercice 2-9

Montrer que pour tout entier naturel $n$, $(5n)!$ est divisible par $40^n\times n!$ (voir si nécessaire : Combinatoire/Factorielles). Modèle:Solution