Arithmétique/Exercices/Fractions

Exercice 7-1

Prouvez que la fraction :

$\frac{n}{2n+1}n\in \mathbb{N}$

est irréductible. Modèle:Solution

Exercice 7-2

La fraction :

$\frac{n+17}{n-4}n\in \mathbb{N}n>4$

peut-elle être égale à un entier ? Modèle:Solution

Exercice 7-3

La fraction :

$\frac{n^2+n}{2n+1}n\in \mathbb{N}$

est-elle irréductible ? Modèle:Solution

Exercice 7-4

1° a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux. Démontrez qu'il en est de même :

a) de a + b et a ;

b) de a + b et b ;

c) de a + b et ab.

2° Déduisez de la question précédente que la fraction :

$\frac{2n+3}{n^2+3n+2}n\in \mathbb{N}$

est irréductible. Modèle:Solution

Exercice 7-5

Démontrer que si la fraction $\frac{a}{b}$ est irréductible, il en est de même pour les fractions :

1. $\frac{a+b}{ab}$
2. $\frac{ab}{a^2+b^2}$
3. $\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}$
4. $\frac{a^2{b}^2}{a^2+b^2}$

Exercice 7-6

Prouvez que si la somme de deux fractions irréductibles est un entier, alors les dénominateurs de ces fractions sont égaux. Modèle:Solution

Exercice 7-7

On pose :

$a=\frac{n^2+1}{n(n^2-1)}n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

1. Prouvez que les diviseurs communs au numérateur et au dénominateur de $a$ sont les diviseurs communs à n² – 1 et 2.
2. Déduisez-en que si n est pair, la fraction est irréductible, et que si n est impair, le PGCD du numérateur et du dénominateur est égal à 2.