Arithmétique/Exercices/Division euclidienne

Exercice 1-1

Si l'on divise 4 294 et 3 521 par un même entier positif, on obtient respectivement pour restes 10 et 11. Quel est ce nombre ? Modèle:Solution

Exercice 1-2

Dans une division euclidienne entre deux entiers positifs, quels peuvent être le diviseur et le reste dont le dividende est 1 517 et le quotient 75 ? Modèle:Solution

Exercice 1-3

On divise cinq entiers naturels consécutifs par 5. Combien obtient-on de restes distincts et quels sont ces restes ? Modèle:Solution

Exercice 1-4

a et b sont deux naturels, avec b non nul. Dans la division euclidienne de a par b, le quotient n'est pas nul. Prouvez que a est strictement supérieur au double du reste. Modèle:Solution

Exercice 1-5

a et b sont deux naturels. Dans la division euclidienne de a par b, le reste est supérieur ou égal au quotient q. Prouvez que si l'on divise a par b + 1, on obtient le même quotient. Modèle:Solution

Exercice 1-6

Trouver un nombre qui, divisé par 21, donne pour reste 4 et qui, divisé par 17, donne le même quotient et pour reste 16. Modèle:Solution

Exercice 1-7

Le dividende d'une division est inférieur à 900. Le quotient est 72 et le reste 12. On cherche le diviseur et dividende. Expliquer pourquoi il n'y a pas de solution. Modèle:Solution

Exercice 1-8

Dans une division euclidienne entre entiers naturels, quels peuvent être le diviseur et le quotient lorsque le dividende est 320 et le reste 39 ? Modèle:Solution

Exercice 1-9

Dans une division euclidienne entre entiers naturels, quels peuvent être le diviseur et le reste lorsque le dividende est 990 et le quotient 70 ? Modèle:Solution

Exercice 1-10

On effectue la division euclidienne de x par 4 et l'on appelle y le quotient et r le reste.

1. Écrivez les relations qui traduisent cette division.
2. x étant donné, on lui associe y, définissant ainsi une suite. Représenter graphiquement cette suite pour x entier relatif de –12 à 11.

Exercice 1-11

On effectue la division euclidienne de x par 4 et l'on appelle q le quotient et y le reste.

1. Écrivez les relations qui traduisent cette division.
2. x étant donné, on lui associe y, définissant ainsi une suite. Démontrer que cette suite est périodique, et la représenter graphiquement pour x entier relatif de –12 à 11.

Exercice 1-12

b est un entier tel que 0 < b ≤ 11.

c et r sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de 132 par b.

1. Écrivez les relations qui traduisent ces hypothèses.
2. Démontrer que b ≤ c.
3. Démontrer que dans la division euclidienne de 132 par c, le quotient est b et le reste est inchangé (c'est-à-dire r).
4. Montrer par un contre-exemple que si l'on abandonne l'hypothèse : 0 < b ≤ 11, le résultat de la question 3 n'est pas toujours vrai.

Exercice 1-13

a et b sont des entiers naturels tels que 0 < b² ≤ a.

c et r sont respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de a par b.

1. Écrivez les relations qui traduisent ces hypothèses.
2. Démontrer que b ≤ c.
3. Démontrer que dans la division euclidienne de a par c, le quotient est b et le reste est inchangé (c'est-à-dire r).
4. Trouver un contre-exemple qui montre que si a < b², il peut arriver que le quotient de a par c ne soit pas égal à b.

Exercice 1-14

Soient a et b deux entiers relatifs distincts. On divise a et b par la différence a – b. Comparer les quotients et les restes de ces deux divisions euclidiennes. Modèle:Solution

Exercice 1-15

Soit b un entier strictement positif et q un entier relatif. Pour quels entiers relatifs a le quotient de la division de a par b est-il égal à q ? Modèle:Solution

Exercice 1-16

Une division d'entiers positifs étant effectuée, on recommence la même opération après avoir augmenté le diviseur de x unités (x ≥ 0).

Peut-on choisir x non nul pour que les deux opérations conduisent au même quotient ?

Lorsque le problème est possible, indiquer un procédé pour déterminer les solutions. Modèle:Solution