Arithmétique/Exercices/Diviseurs communs

Exercice 3-1

Pour chacun des entiers naturels a et b donnés, trouver l'ensemble des diviseurs D(a) et D(b). Déduisez-en le PGCD de a et b.

1° a = 48 ; b = 32.

2° a = 120 ; b = 168.

3° a = 60 ; b = 96. Modèle:Solution

Exercice 3-2

Dans les exemples suivants, indiquez si les nombres a et b sont premiers entre eux.

1° a = 42 ; b = 65.

2° a = 285 ; b = 1463.

3° a = 360 ; b = 707. Modèle:Solution

Exercice 3-3

Trouver le PGCD des nombres suivants :

a) 360 et 2100 ;

b) 468 et 312 ;

c) 700 et 840 ;

d) 1640 et 492. Modèle:Solution

Exercice 3-4

Expliquer pourquoi, dans chacun des cas suivants, on peut donner très rapidement le PGCD de a et b.

1° $a=5\times 12,b=11\times 12$

2° $a=3\times 15,b=8\times 15$

3° $a=22\times 26,b=15\times 26$ Modèle:Solution

Exercice 3-5

Trouver le PGCD des trois nombres a, b, c.

1° a = 162 ; b = 270 ; c = 180.

2° a = 504 ; b = 630 ; c = 1764.

Note : Le PGCD de trois entiers est le plus grand des diviseurs positifs communs à ces trois entiers. Modèle:Solution

Exercice 3-6

a et b sont deux entiers, a = 18 ; trouvez quelles sont les valeurs de b sachant que b est premier avec a et 20 < b < 30. Modèle:Solution

Exercice 3-7

a et b sont deux entiers, a = 630 ; le PGCD de a et b est égal à 105 ; 600 < b < 1100. Trouver b. Modèle:Solution

Exercice 3-8

Résolvez dans ℕ² les systèmes :

a) $\{\begin{array}{c}x+y=72\\ \mathrm{pgcd}(x,y)=8\end{array}$

b) $\{\begin{array}{c}x+y=420\\ \mathrm{pgcd}(x,y)=35\end{array}$

c) $\{\begin{array}{c}x+y=5664\\ \mathrm{pgcd}(x,y)=354\end{array}$ Modèle:Solution

Exercice 3-9

Trouver les entiers naturels $x>y$ vérifiant :

$\{\begin{array}{c}{x}^2-y^2=2916\\ \mathrm{pgcd}(x,y)=18\end{array}$

Exercice 3-10

Dans un repère $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$, le point M a pour coordonnées deux entiers $a$ et $b$ premiers entre eux. Démontrer que sur le segment [OM], les seuls points à coordonnées entières sont les extrémités. Modèle:Solution

Exercice 3-11

a et b sont deux entiers non nuls et g est leur PGCD ; p, q, r, s sont des entiers tels que ps – qr = 1. On pose A = pa + qb et B = ra + sb. Quel est le PGCD g' de A et B ? Modèle:Solution

Exercice 3-12

a et b sont deux entiers. A = 11a + 2b et B = 18a + 5b. Démontrer que :

1° si l'un des deux nombres A ou B est divisible par 19, il en est de même pour l'autre ;

2° si a et b sont premiers entre eux, A et B ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que 1 et 19. Modèle:Solution

Exercice 3-13

a est un entier. On pose m = 20a + 357 et n = 15a + 187, et l'on note g le PGCD de m et n. Démontrer que :

1° g divise 323 ;

2° « g est un multiple de 17 » est équivalent à « a est un multiple de 17 » ;

3° « g est un multiple de 19 » est équivalent à « il existe un entier k, tel que a = 19k + 4 » ;

4° 289 est le plus petit entier positif a tel que g = 323. Modèle:Solution

Exercice 3-14

Soit g le PGCD de deux entiers a et b.

1. Si c est un entier premier avec b, démontrer que pgcd(ac, b) = g.
2. Si g = 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel m, a^m et b sont premiers entre eux, puis en déduire que pour tous entiers naturels m et n, a^m et bⁿ sont premiers entre eux.
3. Quel est le PGCD de a^m et b^m, pour m entier naturel ?
4. Déduire du 3° que si a^m divise b^m, alors a divise b.

Exercice 3-15

Soient a et b premiers entre eux.

1. Démontrer que a + b et ab sont premiers entre eux.
2. En est-il de même pour a + b et a² + b² ?