Arithmétique/Exercices/Congruences

Exercice 9-1

Quel est le reste de la division par 7 du nombre 32⁴⁵ ? Modèle:Solution

Exercice 9-2

Quel est le reste de la division par 19 du nombre 57383¹¹⁴ ? Modèle:Solution

Exercice 9-3

Quel est le reste de la division par 7 du nombre 91234¹⁹⁹⁸ ? Modèle:Solution

Exercice 9-4

1. Démontrez que si l'on divise un entier n par 111, on trouve le même reste qu'en divisant 1000n par 111.
2. Déduisez-en que les deux nombres 10⁸ + 10⁴ + 1 et 10¹⁰ + 10⁵ + 1 sont divisibles par 111.

Exercice 9-5

Quels sont les entiers n tels que n⁶ – 1 soit divisible par 9 ? Modèle:Solution

Exercice 9-6

Soient n₁, n₂, n₃, n₄ et n₅ cinq entiers relatifs vérifiant la relation :

$n_1^3+n_2^3+n_3^3+n_4^3+n_5^3=0$.

Montrez qu'alors, au moins un de ces cinq entiers est un multiple de 7. Modèle:Solution

Exercice 9-7

1. Démontrer que si les entiers p et 8p – 1 sont premiers, alors 8p + 1 n'est pas premier. (Aide : On s'aidera des congruences modulo 3.)
2. Démontrer que si p est premier et différent de 3, alors 8p² + 1 est composé.

Exercice 9-8

Trouvez tous les entiers relatifs $x$ vérifiant simultanément les trois congruences :

$\{\begin{array}{c}x\equiv 1(\mathrm{mod}2)\\ x\equiv 2(\mathrm{mod}3)\\ x\equiv 3(\mathrm{mod}4).\end{array}$

Exercice 9-9

Déterminer le chiffre des unités de $7^{7^7}$. Modèle:Solution

Exercice 9-10

1. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à $1mod13$ et à $6mod7$.
2. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à $5mod8$ et à $1mod27$.
3. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à $1mod4$ et à $\pm 1mod5$.
4. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à $3mod4$ et à $\pm 2mod5$.
5. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à $1mod3$ et à $\pm 1mod8$.
6. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à $-1mod3$ et à $\pm 3mod8$.
7. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à $\pm 2mod5$ et à $\pm 5mod13$.
8. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à $1$ ou $3mod8$ et à $\pm 1mod5$.
9. Trouvez tous les entiers congrus à la fois à $-1$ ou $-3mod8$ et à $\pm 2mod5$.

Exercice 9-11

1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $5\mid (2^{3n+5}+3^{n+1})$.
2. Quel est le reste de la division euclidienne de $16^{(2^{1000})}$ par $7$ ?
3. Soit $n$ un entier impair non divisible par $3$. Montrer que $n^2\equiv 1mod24$.
4. Donner le dernier chiffre de l'écriture en base $10$ de $\sum _{k=0}^{10}{k}^{100}$.

Exercice 9-12

On pose $A=4444^{4444}$. On note $B$ la somme des chiffres de $A$, $C$ la somme des chiffres de $B$ et $D$ la somme des chiffres de $C$. Déterminer $D$. (Indication : calculer $D$ modulo un nombre bien choisi et par ailleurs, majorer $D$.) Modèle:Solution

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