Arithmétique/Devoir/Nombres premiers d'une suite

Modèle:Devoir Inspiré de la solution par Lemaire (Douai) au problème Modèle:N°74 de Ehrhart (Strasbourg), Bulletin de l'APMEP, Modèle:N°328, avril 1981, p. 335-337.

$(u_n)$ est la suite définie par :

$\{\begin{array}{c}{u}_1=u_2=0\\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n+1(1)\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}.\end{array}$

Le but du problème est de chercher tous les nombres premiers de cette suite.

1°  Soit $F_n$ la suite définie pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ par $F_n=u_n+1$.

a)  Calculer les premières valeurs des suites $(F_n)$ et $(u_n)$, jusqu'à $n=6$.

Quels nombres premiers remarquez-vous déjà parmi les $u_n$ calculés ?

b)  La suite $(F_n)$ est célèbre. La reconnaissez-vous ?

c)  Démontrer par récurrence (pour tout entier $n⩾2$) :

$F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n(2)$.

2°  a)  Déduire des relations (1) et (2) la relation (pour tout entier $n⩾2$) :

$5u_{n+1}{u}_{n-1}=(u_{n+1}+u_{n-1}{)}^2-(u_{n+1}+u_{n-1})+(-1{)}^n-1$.

b)  Calculer, en fonction de $n$, les deux racines $a_n<b_n$ de l'équation $X^2-X+(-1{)}^n-1=0$, et déduire de la question précédente que

$5u_{n+1}{u}_{n-1}=(u_{n+1}+u_{n-1}-a_n)(u_{n+1}+u_{n-1}-b_n)(3)$.

c)  En déduire que si $u_{n-1}$ est premier, il divise $u_{n+1}-a_n$ ou $u_{n+1}-b_n$.

3°  a)  Montrer que pour tout $n⩾8$ :

$1<\frac{u_{n+1}-b_n}{u_{n-1}}<\frac{u_{n+1}-a_n}{u_{n-1}}<3$.

b)  Démontrer en utilisant (3) que pour tout $n$ tel que $u_{n-1}\ne 0$ :

$u_{n-1}=\{\begin{array}{cc}-3a_n-2b_n& \text{si }{u}_{n+1}-b_n=2u_{n-1}\\ -3b_n-2a_n& \text{si }{u}_{n+1}-a_n=2u_{n-1}\text{.}\end{array}$

c)  Quels sont les seuls termes premiers de la suite $(u_n)$ ?