Approfondissement sur les suites numériques/Définitions avancées

L'objectif de cette leçon est de présenter les suites numériques et leurs premières propriétés. En particulier, la première propriété à laquelle on va s'intéresser est la variation des suites (croissance, décroissance), intuitivement il s'agit de savoir si la suite augmente ou non.

Dans un second temps, on va poser les définitions de suite bornée, minorée et majorée, ce qui correspond à savoir si la suite va dépasser un certain seuil donné. Ces notions sont fondamentales pour poursuivre l'étude des suites numériques comme nous le verrons dans la leçon suivante sur la convergence des suites.

Définition d’une suite numérique

Modèle:Définition Généralement, une suite $(u_n)$ peut être définie :

• Explicitement

  Ex. : $u_n=\frac{3n}{n+1}$

• Par récurrence

  Ex. : $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+2$.

• Implicitement

  Ex. : ${\alpha }_n$ est l'unique solution sur $]0,+\mathrm{\infty }[$ de $x^n\ln x=2$.

On peut aussi la citer extensivement sous la forme :

$(u_0,u_1,u_2,\cdots ,u_n,\cdots )$.

Modèle:Exemple On note $ℱ(\mathbb{N},ℝ)$, ou encore ${ℝ}^{\mathbb{N}}$, l'ensemble des suites numériques. On peut alors définir des opérations algébriques sur cet ensemble de manière naturelle, par exemple la somme de deux suites revient à additionner chaque terme de la suite.

Remarque

Les suites forment un anneau non intègre, c'est-à-dire que l'on peut trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ non nulles dont le produit $(u_n).(v_n)$ est nul (par exemple, les suites définies par $u_n=(-1{)}^n-1$ et $v_n=(-1{)}^n+1$).

Variations d’une suite

Dans cette partie, on donne les premières définitions permettant d'étudier les variations d'une suite, ainsi que différentes méthodes d'étude.

Définitions

Une suite numérique est dite monotone si elle est monotone (croissante ou décroissante) en tant que fonction (de $\mathbb{N}$ dans $ℝ$). Plus précisément : Modèle:Définition Modèle:Exemple

Un cas particulier de variation est donné par les suites constantes : Modèle:Définition

Remarque

On peut aussi définir une suite constante comme une suite à la fois croissante et décroissante.

Méthode

Pour savoir si une suite est monotone, il est souvent efficace d'étudier :

• le signe de $u_{n+1}-u_n$ ;
• si $(u_n)$ est de signe constant, le signe de $\frac{u_{n+1}}{u_n}-1$

  Modèle:Attention

• si la suite est de la forme $u_n=f(n)$, la monotonie de $f$, par exemple à partir du signe de sa dérivée.

Modèle:Exemple

Suite bornée

Une suite numérique est dite bornée si elle est bornée en tant que fonction (de $\mathbb{N}$ dans $ℝ$). Plus précisément :