Approfondissement sur les suites numériques/Suites récurrentes linéaires

Dans toute la suite, les constantes $a_0,a_1,\cdots ,a_{p-1}$ sont supposés fixées.

De même que dans les cas p = 1 et p = 2, les suites vérifiant la relation de récurrence forment clairement un sous-espace vectoriel ${𝒮}_0$ de l'espace des suites numériques, et $\dim ({𝒮}_0)=p$, puisqu'une telle suite est entièrement déterminée par ses p premières valeurs, que l'on peut choisir arbitrairement.

On vérifie facilement qu'une suite géométrique non nulle de raison $r$ appartient à ${𝒮}_0$ si et seulement si $P(r)=0$.

Le polynôme caractéristique étant de degré p, il a p racines complexes. Si ces p racines $r_1,\dots ,r_p$ sont distinctes, les p suites $(r_1^n),\dots ,(r_p^n)$ forment donc une base de ${𝒮}_0$.