Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites et modélisation (exemples en biologie)

Exercice 1

(Résistance et dominance) On se propose d'étudier l'évolution de deux populations de moustiques chez qui sont apparues des mutations leur conférant une résistance aux insecticides. On suppose que la résistance aux insecticides est entièrement sous dépendance génétique et que les populations sont dans des régions traitées avec des insecticides. On supposera également que les croisements au sein de la population se font au hasard et que tous les adultes qui survivent ont le même taux de fécondité.

• Première population : On appelle $r$ l'allèle sauvage et $R_1$ l'allèle codominant conférant une résistance aux insecticides. Les homozygotes $R_1{R}_1$ sont totalement résistants. Les hétérozygotes $R_{1}r$ sont partiellement sensibles : la moitié meurent avant de se reproduire. Les individus homozygotes $rr$ sont quant à eux sensibles et meurent tous.
• Deuxième population : On appelle $r$ l'allèle sauvage et $R_2$ l'allèle codominant conférant une résistance aux insecticides. Les homozygotes $R_2{R}_2$ et les hétérozygotes $R_{2}r$ sont totalement résistants. Les homozygotes $rr$ sont quant à eux sensibles et meurent tous.

On note $p_n$ (respectivement $q_n=1-p_n$) la proportion d'allèles $R_1$ (resp. $r$) chez les adultes de la première population à la $n$-ième génération.

1. Soit $n\ge 1$. Exprimer $p_n$ en fonction de $p_{n-1}$ et $q_n$ en fonction de $q_{n-1}$.
2. En déduire l'expression de $p_n$ et $q_n$ en fonction de $p_0$.
3. On suppose qu'au début de l'étude, 1 % de la population est résistante. En combien de générations plus de 90 % de la population survivra-t-elle au traitement insecticide ?
4. Reprendre les questions précédentes pour la deuxième population.
5. Commentaires ?

Exercice 2

(Populations structurées) On souhaite étudier l'évolution au cours des générations du nombre d'individus d'une population de plantes. La durée de vie d'un individu est de 2 ans.

• À 1 an, les plantes se reproduisent par multiplication végétative : chaque individu produit 2 plantes filles qui atteindront l'âge de 1 an.
• À 2 ans, la plante fleurit, elle produit des graines et meurt. Parmi ces graines, 10 germent et produisent des plantes filles qui atteindront l'âge de 1 an.
• 80 % des plants âgés de 1 an atteindront l'âge de 2 ans, les autres meurent avant de fleurir.

1. On note $u_n$ (resp. $v_n$) le nombre d'individus de 1 an (resp. 2 ans) dans la population (avant reproduction) à la génération $n$. Exprimer $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$.
2. Dans cette question et la suivante, on suppose que la structure de la population est stable. La proportion $k$ du nombre de jeunes de 1 an par rapport au nombre d'adultes est toujours la même : $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\frac{u_n}{v_n}=k$. Déterminer la valeur de $k$.
3. Pour cette valeur de $k$, exprimer l'effectif de la population à la $n$-ième génération en fonction du nombre d'individus de 2 ans à la première génération étudiée.
4. On suppose à présent que $u_0=5,v_0=0$ (on introduit des plantes âgées de 1 an dans un nouveau lieu). Déterminer $\alpha$ et $\beta$ tels que $\left(\begin{array}{c}{u}_0\\ v_0\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}-\frac{5}{2}\\ 1\end{array}\right)$.
5. Montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)=\alpha 4^n\left(\begin{array}{c}5\\ 1\end{array}\right)+\beta (-2{)}^n\left(\begin{array}{c}-\frac{5}{2}\\ 1\end{array}\right)$.
6. Que peut-on dire de la structure de la population au bout d'un grand nombre de générations ?