Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suites arithmético-géométriques

Exercice 1

Soient $a,b>0$ et $(u_n)$ la suite définie par : $u_0=a,u_{n+1}=\sqrt{b{u}_n}$.
Exprimer $u_n$ en fonction de n et $a,b$ et montrer que cette suite est convergente et monotone. Modèle:Solution

Exercice 2

On mesure l'évolution d'une quantité $Q_n$ d'un produit à intervalles de temps réguliers $n=0,1,2,3\dots$ ($Q_0$ est la quantité de départ), sachant que sur chaque unité de temps on perd une proportion $k$ (avec $0<k\le 1$) de produit et qu'on en injecte une quantité fixe $Q$.

1. Montrer que $Q_{n+1}=Q+(1-k)Q_n$.
2. Si la suite $(Q_n)$ est convergente, quelle est sa limite ?
3. On pose $R_n=Q_n-\frac{Q}{k}$. Montrer que la suite $(R_n)$ est géométrique. Exprimer $R_n$ en fonction de $n$.
4. En déduire que la suite $(Q_n)$ est convergente, et retrouver le résultat de la question 2.
5. Un gouvernement R décide d'envoyer des soldats en « opération militaire spéciale » dans un pays U ; il constate que 5 % de ses effectifs disparaissent chaque mois. Combien doit-il envoyer de nouvelles recrues chaque mois pour atteindre un effectif proche de Modèle:Unité, sachant qu'il a envoyé au départ un bataillon de Modèle:Unité ? Et s'il avait envoyé au départ un bataillon de Modèle:Unité ?