Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Suite récurrente homographique

Exercice 1

On considère la fonction homographique $f$ définie par

$f(x)=\frac{3x+2}{x+4}$ (pour $x\ne -4$).

1. Déterminer ses points fixes.
2. On pose $h(x)=\frac{x-1}{x+2}$ (pour $x\ne -2$). Démontrer qu'il existe une constante $k$ telle que $h(f(x))=kh(x)$ (pour tout $x\notin \{-4,-2\}$).
3. Pour $y\ne 1$, déterminer $x$ tel que $h(x)=y$.
4. Déterminer l'ensemble $D$ des réels $a\ne -2$ tels que $a$ et toutes ses images successives par $f$ soient différents de $-4$.
5. Soit $a\in D$. On définit une suite $(u_n)$ par : $u_0=a$ et $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{u}_{n+1}=f(u_n)$. Démontrer que la suite $v_n:=h(u_n)$ est géométrique et tend vers 0.
6. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, ainsi que ses variations et sa limite.