Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence affine d'ordre 2

Les deux premiers exercices visent à vérifier votre assimilation des résultats du cours : les équations y sont proposées sous une forme simple qui vous permet d’utiliser directement les théorèmes développés dans la leçon.

Les exercices suivants seront moins « automatiques » et nécessiteront la recherche et la mise en équation du problème, la résolution étant supposée acquise.

Exercice 1

Soit ${\left(a_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite telle que :

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*}\frac{1}{4}{a}_n+\frac{1}{2}{a}_{n-1}+1=0$.

1. Exprimer $a_n$ en fonction de n et $a_0$.
2. La suite converge-t-elle ? Si oui, quelle est sa limite ?

Exercice 2

1. Soit $(u_n)$ la suite définie par : $u_0=u_1=1,5u_{n+2}-4u_{n+1}-u_n=3$.
   Exprimer $u_n$ en fonction de n. Quelle est la limite de cette suite ?
2. Soit $(v_n)$ la suite définie par : $v_0=1,v_1=-1,\frac{1}{2}{v}_{n+1}-v_n=\frac{2}{3}(v_{n+2}-5)$. Exprimer $v_n$ en fonction de n.

Exercice 3

Modèle:Wikipédia Un automate cellulaire est un algorithme qui évolue pas à pas, observant les structures qu’il a déjà produites pour effectuer l'étape suivante. Cet exercice propose d’en étudier un très simple au moyen des suites récurrentes affines d'ordre 2.

Définition de l'automate

Cet automate prendra deux valeurs, d'indices n et n + 1, et retournera la valeur d'indice n + 2. On incrémente alors n et l'on recommence l'opération.

Les règles sont :

• $(0,0)\mapsto 1$ ;
• $(1,0)\mapsto 0$ ;
• $(0,1)\mapsto 0$.

L'automate reçoit les deux premières valeurs et les complète avec ces règles. Par exemple, si l'on commence avec « 00 », alors il calculera le chiffre suivant (d'après les règles précédentes, c’est un 1). L'automate ne peut traiter que des 0 et des 1. On suppose que le cas « 11 » ne peut débuter la séquence.

Questions

1. Mettre en équation l'automate décrit, sous la forme d'une suite récurrente affine d'ordre 2. Cette mise en équation est-elle unique ?
2. Déterminer les solutions réelles de l'équation linéaire associée.
3. Montrer que, quels que soient les deux premiers termes de la suite, celle-ci est périodique et ne contient pas deux 1 consécutifs.

Oublions les règles

Oublions maintenant les règles : il s'agit désormais de mathématiques pures.

1. Le cas « 11 » n'est plus exclu : montrer que la solution est toujours périodique ;
2. Existe-t-il une solution complexe à l'équation linéaire ? Est-elle bornée ?