Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Sur la trigonométrie

Exercice 4-1

On pose $z={\cos }^2\phi +\mathrm{i}\sin \phi \cos \phi$.

a)  Déterminer les réels $\phi$ tels que $z=0$.

b)  Si $z\ne 0$, calculer $z^{-1}$, $z^2$, $z^{-2}$, $z^3$ et $z^{-3}$. Modèle:Solution

Exercice 4-2

Déterminer le module et l'argument des nombres complexes suivants :

• $z_1=\frac{\sqrt{6}+\mathrm{i}\sqrt{2}}{2}$ ;
• $z_2=1+\mathrm{i}$ ;
• $z=\frac{z_1}{z_2}$.

En déduire $\cos \frac{7\pi }{12}$ et $\sin \frac{7\pi }{12}$, puis $\cos \frac{5\pi }{12}$ et $\sin \frac{5\pi }{12}$. Modèle:Solution

Exercice 4-3

1°  Écrire la représentation trigonométrique de

$a=\frac{\sqrt{3}+\mathrm{i}}{2}$ et

$b=\frac{-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2}$.

Représenter leurs images dans le plan complexe.

2°  Résoudre dans $ℂ$ l'équation :

$z^2+(1-\mathrm{i}\sqrt{3})z-(1+\mathrm{i}\sqrt{3})=0$.

Vérifier que les solutions, $z^{\prime }$ et $z^{″}$, s'expriment simplement à l'aide de $a$ et $b$.

3°  Construire les images $M^{\prime }$ et $M^{″}$ de $z^{\prime }$ et $z^{″}$. Écrire la représentation trigonométrique de $z^{\prime }$ et $z^{″}$.

4°  En déduire les valeurs de $\cos \frac{5\pi }{12}$, $\sin \frac{5\pi }{12}$, $\cos \frac{11\pi }{12}$ et $\sin \frac{11\pi }{12}$, puis $\cos \frac{\pi }{12}$ et $\sin \frac{\pi }{12}$. Modèle:Solution

Exercice 4-4

Linéariser les expressions suivantes :

a)  ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ ;

b)  ${\sin }^{2}x{\cos }^{3}x$ ;

c)  ${\cos }^{4}x$ ;

d)  ${\cos }^{4}x\sin x$ ;

e)  $\cos (3x)\sin (4x)$ ;

f)  ${\cos }^{5}t$ ;

g)   ${\sin }^{3}x\cos x$. Modèle:Solution

Exercice 4-5

Dans cet exercice, $Z$ désigne le nombre complexe :

$\cos \frac{2\pi }{5}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi }{5}$.

1°  Vérifier que $Z^5-1=0$.

En déduire la relation :

$1+Z+Z^2+Z^3+Z^4=0$.

2°  a)  Exprimer $Z$, $Z^2$, $Z^3$ et $Z^4$sous forme trigonométrique.

b)  Démontrer les égalités :

$Z+Z^4=2\cos \frac{2\pi }{5}\text{et}{Z}^2+Z^3=2\cos \frac{4\pi }{5}$.

3°  Utiliser les résultats des questions précédentes pour trouver une relation entre $\cos \frac{2\pi }{5}$ et $\cos \frac{4\pi }{5}$,

puis montrer que $\cos \frac{2\pi }{5}$ est racine de l'équation $4x^2+2x-1=0$.

En déduire la valeur de $\cos \frac{2\pi }{5}$.

Exercice 4-6

On rappelle que si $q$ est un nombre complexe différent de $1$ et $n$ un élément de $\mathbb{N}$ :

$1+q+q^2+\cdots +q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Soit $t$ un élément de $[0,\pi ]$ ; on pose pour $n$ élément de ${\mathbb{N}}^{*}$ :

$C_n(t)=\sum _{k=1}^n\cos kt$ et $S_n(t)=\sum _{k=1}^n\sin kt$.

1°  Calculer le nombre complexe $C_n(t)+\mathrm{i}{S}_n(t)$.

2°  En déduire :

• si $t=0$, $C_n(0)=n$ ;
• si $t\in ]0,\pi ]$, $C_n(t)=\cos \frac{(n+1)t}{2}\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}$.

Exercice 4-7

Soit $\theta \in ℝ$ tel que $\cos \theta \ne 0$.

1. Démontrer que $\cos (5\theta )=\frac{\cos \theta }{(1+t{)}^2}(5t^2-10t+1)$, où $t$ désigne ${\tan }^2\theta$.
2. En déduire que ${\tan }^2\frac{\pi }{10}$ et ${\tan }^2\frac{3\pi }{10}$ sont les deux racines de $5X^2-10X+1$.
3. Combien vaut leur somme ?