Approche géométrique des nombres complexes/Exercices/Réels et imaginaires purs

Exercice 3-1

Comment choisir l’entier naturel $n$ pour que :

${(1+\mathrm{i})}^n$

1°  soit un réel positif ?

2°  soit un imaginaire pur ? Modèle:Solution

Exercice 3-2

À tout point M$(x,y)$ du plan rapporté au repère $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, on associe le nombre complexe :

$z=[(2x-y)+(x-y)\mathrm{i}][x+(x-y)\mathrm{i}]$.

Déterminer et construire l'ensemble des points M tels que $z$ soit réel. Modèle:Solution

Exercice 3-3

Soit $f$ l'application de $ℂ$ dans $ℂ$ définie par :

$f(z)=z^3$.

Soit M l'image de $z$ dans le plan complexe.

1°  Déterminer l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit réel.

2°  Déterminer l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit imaginaire pur. Modèle:Solution

Exercice 3-4

Soit $f$ l'application de $ℂ\setminus \{\mathrm{i}\}$ dans $ℂ$ définie par :

$f(z)=\frac{z+\mathrm{i}}{z-\mathrm{i}}$.

Soit M l'image de $z$ dans le plan complexe.

1°  Déterminer l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit réel.

2°  Déterminer l'ensemble des points M tels que $f(z)$ soit imaginaire pur. Modèle:Solution

Exercice 3-5

Déterminer l'ensemble des points M du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $z^3+z^2+z+1$ soit réel.

Représenter cet ensemble. Modèle:Solution

Exercice 3-6

Soit $P(z)=z^2+\mathrm{i}z-1+\mathrm{i}$.

1°  Résoudre dans $ℂ$ l'équation : $P(z)=0$.

2°  Déterminer l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $P(z)$ soit réel.

Représenter graphiquement cet ensemble.

Exercice 3-7

On donne $Z=\frac{1}{(4-z)(2-\mathrm{i}z)}$.

Soit M l'image du nombre complexe $z$, dans un repère orthonormal.

Construire l'ensemble des points M tels que $Z$ soit un réel. Modèle:Solution