Approche géométrique des nombres complexes/Devoir/Résolution d'une équation du quatrième degré

Modèle:Clr 1°  Soit $\theta$ un réel fixé. Démontrer que l'équation :

$z^2-2z\cos \theta +1=0$

admet en général deux solutions complexes conjuguées, notées $z_1$ et $\overline{z_1}$. Les exprimer en fonction de $\theta$. Préciser leur module. Examiner le cas où $\theta =k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

2°  Les solutions de l'équation :

$z^2-2z\cos {\theta }^{\prime }+1=0$

avec ${\theta }^{\prime }$ réel fixé, sont notées $z_2$ et $\overline{z_2}$.

Soit :

$P(z)=z^4+a{z}^3+b{z}^2+cz+d$.

En fonction de $\cos \theta$ et $\cos {\theta }^{\prime }$, calculer $a,b,c,d$ pour que $P(z)$ soit identique au polynôme :

$Q(z)=(z-z_1)(z-\overline{z_1})(z-z_2)(z-\overline{z_2})$.

Démontrer qu'alors, $a=c$ et $d=1$.

3°  Inversement $a,b,c,d$ sont fixés, tels que $a=c,d=1$ et l'on cherche à déterminer les réels $\theta$ et ${\theta }^{\prime }$ tels que $Q(z)$ soit identique à $P(z)$.

Démontrer que $\cos \theta$ et $\cos {\theta }^{\prime }$ sont solutions de l'équation :

$X^2+\frac{a}{2}X+\frac{b-2}{4}=0$.

Écrire les inégalités que $a$ et $b$ doivent vérifier pour que $\theta$ et ${\theta }^{\prime }$ existent.

4°  On se propose d'interpréter géométriquement ces inégalités. Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé, soit M le point de coordonnées $(a,b)$.

Déterminer l'ensemble des points M tels que $\theta$ et ${\theta }^{\prime }$ existent. Tracer soigneusement les courbes qui délimitent cet ensemble.

5°  Appliquer les résultats précédents à la résolution de l'équation :

$z^4-3z^3+4z^2-3z+1=0$

en déterminant au préalable $\theta$ et ${\theta }^{\prime }$.