Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Sujets de bac

Exercice 1

1. Résoudre dans l’ensemble $ℂ$ des nombres complexes l'équation $z^2+4z+16=0$.

2. Pour tout nombre complexe z, on pose $P\left(z\right)=z^3-64$.

a) Calculer P(4).

b) Trouver les réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z,

$P\left(z\right)=(z-4)(a{z}^2+bz+c)$.

c) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l'équation P(z) = 0.

Exercice 2

Source : Sujet d'examen : 2007

On considère l'équation (E) : $z^3-(4+i)z^2+(13+4i)z-13i=0$ où z est un nombre complexe.

1. Démontrer que le nombre complexe i est solution de l'équation.

2. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe z on ait : $z^3-(4+i)z^2+(13+4i)z-13i=(z-i)(a{z}^2+bz+c)$.

En déduire les solutions de l'équation (E).

Exercice 3

Déterminer les nombres complexes c et d vérifiant le système :

$\{\begin{array}{cc}-2c+d& =1+13i\\ -c+d& =4+8i\end{array}$

Exercice 4

Pour tout nombre complexe Z, on pose $P(Z)=Z^4-1$ .

P(Z).

b. En déduire les solutions dans l'ensemble $ℂ$ des complexes de l'équation P(Z) = 0.

c. Déduire de la question précédente les solutions dans $ℂ$ de l'équation d'inconnue z : ${\left(\frac{2z+1}{z-1}\right)}^4=1$