Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Sujet de bac S

On considère le polynôme P défini par :

$P(z)=z^4-6z^3+24z^2-18z+63$

1. Calculer $P(i\sqrt{3}$) et $P(-i\sqrt{3})$,

puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que pour tout $z\in ℂ$ on ait :

$P(z)=(z^2+3)Q(z)$.

2. Résoudre dans $ℂ$ l'équation $P(z)=0$.

3. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

les points A, B, C et D d'affixes respectives :

$z_A=i\sqrt{3}$, $z_B=-i\sqrt{3}$, $z_C=3+2i\sqrt{3}$ et $z_D=\overline{z_C}$,

puis montrer que ces quatre points appartiennent à un même cercle.

4. On note E le symétrique de D par rapport à O.

Montrer que $\frac{z_C-z_B}{z_E-z_B}=e^{-\frac{i\pi }{3}}$ puis déterminer la nature du triangle BEC.