Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Manipulation de complexes

Modèle:Exercice Pour le cours correspondant à ces exercices, voir Approche géométrique des nombres complexes/Apports à la trigonométrie et Approche géométrique des nombres complexes/Apports à l'algèbre.

Exercice 1

Soit $(a,b,c,d)\in {ℝ}^4$ tel que $cd=0$.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur (a,b,c,d) pour que $\frac{a+ib}{c+id}\in ℝ$

Exercice 2

Soit $(a,b)\in ℂ\times ℂ\mathrm{\setminus }\{1\}$.

Montrer que $\frac{a-b\overline{a}}{1-b}\in ℝ$ ssi $a\in ℝ$ ou $|b|=1$

Exercice 3

Pour tout $n\in \mathbb{N}$, on pose $z_n={\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}\right)}^n$

Soit $n\in \mathbb{N}$.

Montrer que $z_n\in ℝ\iff 12\mid 7n$. En déduire $\{n\in \mathbb{N}\mid z_n\in ℝ\}$.

Exercice 4

1. Montrer que pour tout réel t, $1-e^{it}=-2i\sin \left(\frac{t}{2}\right)e^{it/2}$

2. Montrer que $e^{i\pi /11}+e^{3i\pi /11}+e^{5i\pi /11}+e^{7i\pi /11}+e^{9i\pi /11}=\frac{\sin \left(\frac{5\pi }{11}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{11}\right)}{e}^{i\pi /11}$

3. En déduire la valeur exacte de $\cos \left(\frac{\pi }{11}\right)+\cos \left(\frac{3\pi }{11}\right)+\cos \left(\frac{5\pi }{11}\right)+\cos \left(\frac{7\pi }{11}\right)+\cos \left(\frac{9\pi }{11}\right)$