Applications techniques des nombres complexes/Exercices/Exercices sur la forme algébrique

Pour le cours correspondant à ces exercices, voir les chapitres 1, 2, 4 et 5 de la leçon Calcul avec les nombres complexes.

Parties réelles et imaginaires

Donner les parties réelles et imaginaires de ces nombres complexes sous forme algébrique.

<quiz> {$z=2+3.i$ | type="{}"} Partie réelle : { 2_2 } Partie imaginaire : { 3_2 }

{$z=2.i+3$ | type="{}" } Partie réelle : { 3_2 } Partie imaginaire : { 2_2 }

{$z=3-2.i$ | type="{}" } Partie réelle : { 3_2 } Partie imaginaire : { -2_2 }

{$z=-1+i$ | type="{}" } Partie réelle : { -1_2 } Partie imaginaire : { 1_2 }

{$z=2.i$ | type="{}" } Partie réelle : { O (i)_2 } Partie imaginaire : { 2_2 }

{$z=-i$ | type="{}" } Partie réelle : { O (i)_2 } Partie imaginaire : { -1_2 }

{$z=3$ | type="{}" } Partie réelle : { 3_2 } Partie imaginaire : { O (i)_2 }

{$z=0$ | type="{}" } Partie réelle : { O (i)_2 } Partie imaginaire : { O (i)_2 }

{ Quand la partie réelle d'un nombre complexe est nulle, on dit qu’il est imaginaire pur. Cochez les cases qui sont devant des complexes imaginaires purs ? } - $z=2+3.i$ - $z=2.i+3$ - $z=3-2.i$ - $z=-1+i$ + $z=2.i$ + $z=-i$ - $z=3$ + $z=0$ </quiz>

Addition sous forme algébrique

Additionner les nombres complexes z₁ et z₂ donnés sous forme algébrique pour obtenir leur somme z₁ + z₂ sous forme algébrique.

Indication : rassembler les termes qui contiennent des i, mettre i en facteur et simplifier.

<quiz> {$z_1=5+4.i$ et $z_2=3+2.i$ | type="{}"} z₁ + z₂ = { 8_2 } + { 6_2 } i

{$z_1=-5+4.i$ et $z_2=3-2.i$ | type="{}"} z₁ + z₂ = { -2_2 } + { 2_2 } i

{$z_1=i$ et $z_2=3-2.i$ | type="{}"} z₁ + z₂ = { 3_2 } + { -1_2 } i

{$z_1=2$ et $z_2=3-2.i$ | type="{}"} z₁ + z₂ = { 5_2 } + { -2_2 } i </quiz>

Soustraction sous forme algébrique

La soustraction se fait de la même manière que l'addition.

Attention quand même car le "moins" se distribue à l’ensemble du nombre complexe que l’on soustrait.

<quiz>

{$z_1=5+4.i$ et $z_2=3+2.i$ | type="{}"} z₁ - z₂ = { 2_2 } + { 2_2 } i

{$z_1=-5+4.i$ et $z_2=3-2.i$ | type="{}"} z₁ - z₂ = { -8_2 } + { 6_2 } i

{$z_1=i$ et $z_2=3-2.i$ | type="{}"} z₁ - z₂ = { -3_2 } + { 3_2 } i

{$z_1=2$ et $z_2=3-2.i$ | type="{}"} z₁ - z₂ = { -1_2 } + { 2_2 } i </quiz>

Multiplication

Soit les nombres complexes $z=2-3i$ et $z^{\prime }=-4+i$.

Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique.

<quiz> {$z+z^{\prime }$ | type="{}"}

= { -2_2 } + { -2_2 } i

{$3z-2z^{\prime }$ | type="{}"}

= { 14_3 } + { -11_3 } i

{$z\times z^{\prime }$ | type="{}"}

= { -5_3 } + { 14_3 } i

{$z^2$ | type="{}"}

= { -5_3 } + { -12_3 } i

{$z{\text{'}}^3$ | type="{}"}

= { -52_3 } + { 47_3 } i

{$(1-z)(5+z^{\prime })$ | type="{}"}

= { -4_3 } + { 2_3 } i

</quiz>

Division de nombres complexes

Exercice

Nous allons décomposer $z_1$ et $z_2$ pour les mettre sous forme algébrique.

Illustration des exemples

Exercice : Valeurs prises par un polynôme, représentation géométrique

<quiz> {Soit $P(z)$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : $P(z)=z^2-4z+13$.

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : | type="{}"} $P(0)$ = { 13_3 } + { O_3 } i $P(i)$ = { 12_3 } + { -4_3 } i $P(2+3i)$ = { O_3 } + { O_3 } i $P(2-3i)$ = { O_3 } + { O_3 } i </quiz>

2. Dans le plan complexe d'unité graphique Modèle:Unité, placer les images des nombres précédents.

Exercice

Soit $z=\frac{3-2i}{5+i}$ et $z^{\prime }=\frac{3+2i}{5-i}$ deux nombres complexes.

1. Vérifier que $z^{\prime }=\overline{z}$

2. Démontrer que $z+z^{\prime }$ est un nombre réel et que $z-z^{\prime }$ est un imaginaire pur.

3. Dans le plan complexe d'unité graphique Modèle:Unité, placer les images des nombres précédents.

Exercice

On donne $z_1=-2+3i$ et $z_2=3+i$

<quiz> {Calculer $z_1+z_2$ | type="{}"} z₁ + z₂ = { 1_2 } + { 4_2 } i

{Calculer $z_1-z_2$ | type="{}"} z₁ - z₂ = { -5_2 } + { 2_2 } i

{Calculer $z_1\times z_2$ | type="{}"} z₁ z₂ = { -9_3 } + { 7_3 } i

{Calculer $\frac{z_1}{z_2}$ | type="{}"} $\frac{z_1}{z_2}$ = { -3/10_6 } + { 11/10_6 } i </quiz>

Exercice

On donne $z_1=-3+2i$ et $z_2=3-i$

<quiz> {Calculer $z_1+z_2$ | type="{}"} z₁ + z₂ = { O_1 } + { 1_2 } i

{Calculer $z_1-z_2$ | type="{}"} z₁ - z₂ = { -6_3 } + { 3_2 } i

{Calculer $z_1\times z_2$ | type="{}"} z₁ z₂ = { -7_3 } + { 9_3 } i

{Calculer $\frac{z_1}{z_2}$ | type="{}"} $\frac{z_1}{z_2}$ = { -11/10_7 } + { 3/10_5 } i </quiz>

Exercice

On donne $z_1=-5+2i$ et $z_2=\frac{3}{7}-i$

On donnera les nombres complexes sous forme algébrique, les fractions devant être simplifiées.

a) $z_1-z_2$

b) $z_1\times z_2$

c) $|z_1|$

d) $\frac{z_1}{z_2}$

e) $z_1^3$

Simplification

Mettre sous la forme $a+i.b(a,b\in ℝ)$ les nombres :

a) $\frac{3+6i}{3-4i}$

b) ${\left(\frac{1+i}{2-i}\right)}^2+\frac{3+6i}{3-4i}$

c) $\frac{2+5i}{1-i}+\frac{2-5i}{1+i}$

d) $\frac{5+2i}{1-2i}$

e) ${(-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2})}^3$

f) $\frac{(1+i{)}^9}{(1-i{)}^7}$