Application linéaire/Exercices/Noyau et image

Modèle:Exercice Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels. Modèle:Clr

Exercice 2-1

Soient $a,b,u,v\in \mathrm{L}(E)$.

1. Montrer que :
   1. $au+bv={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\Rightarrow E=\mathrm{im}a+\mathrm{im}b$ ;
   2. $ua+bv={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\Rightarrow \ker a\subset \mathrm{im}b$ ;
   3. $ua+vb={\mathrm{i}\mathrm{d}}_E\Rightarrow \ker a\cap \ker b=\{0\}$ ;
   4. $ab=0\iff \mathrm{im}b\subset \ker a$.
2. La question 1.4 se généralise facilement au cas où $b\in \mathrm{L}(E,F)$ et $a\in \mathrm{L}(F,G)$ (avec $E,F,G$ trois K-e.v. non nécessairement égaux). Généraliser de même (sans démonstration) les questions 1.1, 1.2 et 1.3.

Exercice 2-2

Soient $u,v,w\in \mathrm{L}(E)$ tels que $u\circ v=w$, $v\circ w=u$ et $w\circ u=v$.

Montrer que ces trois endomorphismes ont même noyau et même image.

Exercice 2-3

Soient $u,v\in \mathrm{L}(E)$.

1. Vérifier que $\ker v\subset \ker u\circ v$ et $\mathrm{im}v\supset \mathrm{im}v\circ u$.
2. Montrer que $\ker v=\ker u\circ v\iff \ker u\cap \mathrm{im}v=\{0\}$.
3. Montrer que $\mathrm{im}v=\mathrm{im}v\circ u\iff E=\mathrm{im}u+\ker v$.

Exercice 2-4

Soit $\phi \in \mathrm{L}(E)$. En utilisant parfois les résultats de l'exercice précédent, démontrer que :

1. la suite des noyaux des itérés de $\phi$ est croissante et celle des images est décroissante : $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\ker \left({\phi }^n\right)\subset \ker \left({\phi }^{n+1}\right)\text{et}\mathrm{im}\left({\phi }^n\right)\supset \mathrm{im}\left({\phi }^{n+1}\right)$ ;
2. s'il existe au moins un $n$ tel que $\ker \left({\phi }^n\right)=\ker \left({\phi }^{n+1}\right)$ alors la suite des noyaux est strictement croissante jusqu'à un certain rang $p$, puis constante à partir de ce rang ;
3. s'il existe au moins un $n$ tel que $\mathrm{im}\left({\phi }^n\right)=\mathrm{im}\left({\phi }^{n+1}\right)$ alors la suite des images est strictement décroissante jusqu'à un certain rang $q$, puis constante à partir de ce rang ;
4. si les deux suites stationnent alors $E=\ker ({\phi }^q)\oplus \mathrm{im}({\phi }^p)$ et $p=q$ ;
5. si $E$ est de dimension finie alors les deux suites stationnent et l'entier $p=q$ est au plus égal à $\dim (E)$ ;
6. si $E$ est de dimension infinie alors les deux sous-espaces ${\cup }_{n\in \mathbb{N}}\ker ({\phi }^n)$ et ${\cap }_{n\in \mathbb{N}}\mathrm{im}({\phi }^n)$ ne sont plus nécessairement supplémentaires.

Exercice 2-5

Les applications suivantes sont-elles linéaires ?

$\begin{array}{cc}{f}_1:(x,y)\in {ℝ}^2\mapsto (2x+y,ax-y)\in {ℝ}^2,& f_2:(x,y,z)\in {ℝ}^3\mapsto (xy,ax,y)\in {ℝ}^3,\\ f_3:P\in ℝ[X]\mapsto a{P}^{\prime }+P\in ℝ[X],& f_4:P\in {ℝ}_3[X]\mapsto P^{\prime }\in {ℝ}_2[X],\\ f_5:P\in {ℝ}_3[X]\mapsto (P(-1),P(0),P(1))\in {ℝ}^3,& f_6:P\in ℝ[X]\mapsto P-(X-2)P^{\prime }\in ℝ[X],\\ f_7:P\in {ℝ}_n[X]\mapsto P-\frac{X}{2}{P}^{\prime }\in {ℝ}_n[X].\end{array}$

Pour celles qui le sont, déterminer le noyau et l'image et en déduire si l'application est injective, surjective, bijective. Modèle:Solution

Exercice 2-6

Soit

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 2& 2\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$.

On note $f$ et ${}^{t}f$ les endomorphismes de ${ℝ}^3$ de matrices respectives $A$ et ${}^{t}A$ dans la base canonique.

1. Montrer que $\mathrm{rang}(A)=\mathrm{rang}({}^{t}A)=2$ et calculer une base $(u_1,u_2)$ de $\mathrm{im}({}^{t}f)$.
2. Montrer que $\ker ({}^{t}f)$ est engendré par le vecteur $v=(-2,1,2)$.
3. Montrer que ${ℝ}^3=\mathrm{im}(f)\oplus \ker ({}^{t}f)$.

Exercice 2-7

Soit l'application

$f:K^3\to K^3,(x,y,z)\mapsto (x+2y+3z,-x+4y-4z,-6y+z)$.

1. Montrer que $f$ est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique.
2. Calculer son noyau et en déduire son rang.
3. Est-elle injective ? surjective ?

Exercice 2-8

Donner une base du noyau de chacune des applications linéaires $f:E\to F$ suivantes.

1. $E=K^2$, $F=K$, $f(x,y)=x-y$.
2. $E=K^3$, $F=K$, $f(x,y,z)=x+2y-z$.
3. $a\in K$, $E=K^4$, $F=K^3$, $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}a-1& -a+1& a& a-1\\ -a+6& a-2& -a+4& -a+2\\ a-5& -a+2& a-3& a-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ t\end{array}\right)$.

Modèle:Solution Donner une base de l'image de chacune des applications linéaires $f:E\to F$ suivantes.

1. $E=ℝ$, $F={ℝ}^2$, $f(x)=(3x,-3x)$.
2. $E={ℝ}^2$, $F={ℝ}^3$, $f(x,y)=(x+2y,3x+2y)$.
3. $E=F=K^3$, $a\in K$, $f\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-a+2& -3& -1\\ -a+1& -1& 0\\ 1& -3& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$.

Exercice 2-9

Soient $m\in ℝ$ et $M_m=\left(\begin{array}{ccc}1& -m& m^2\\ m& -m^2& m\\ m& 1& -m^2\end{array}\right)$.

1. Calculer le déterminant de $M_m$.
2. Déterminer les valeurs du réel $m$ pour lesquelles la matrice $M_m$ est inversible.

   On considère l'endomorphisme $f_m$ de ${ℝ}^3$ dont la matrice dans la base canonique est $M_m$, et l'on pose $F_m=\mathrm{Vect}((2m,2m,1-m))$.

3. Pour quelles valeurs de $m$ l'application $f_m$ est-elle bijective ?
4. Déterminer l'image et le noyau de $f_1$. Déterminer $\mathrm{im}(f_1)\cap F_1$.
5. Montrer que $\mathrm{im}(f_{-1})\oplus F_{-1}={ℝ}^3$.

Exercice 2-10

Soit $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in {\mathrm{M}}_2(ℝ)$ une matrice non Modèle:W.

1. Montrer que l'application $f:{\mathrm{M}}_2(ℝ)\to {\mathrm{M}}_2(ℝ),A\mapsto AM-MA$ est linéaire et donner sa matrice dans la base canonique

   $(e_1=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),e_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),e_3=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),e_4=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right))$.

2. Montrer que $A\in \ker f$. Sans calcul, donner une autre matrice de $\ker f$, non proportionnelle à $A$.
3. Chercher $\ker f,\mathrm{i}\mathrm{m}f$, et montrer que si $(a-d{)}^2+4bc\ne 0$ alors ${\mathrm{M}}_2(ℝ)=\ker f\oplus \mathrm{i}\mathrm{m}f$.
4. Que vaut $\mathrm{T}\mathrm{r}(f(A))$ ?

Exercice 2-11

On considère l'application linéaire $f:K^3\to K^3$ définie par $f(x,y,z)=(5x+2y+z,4x+y+2z,x-y+3z)$, pour tout triplet $(x,y,z)\in K^3$.

1. Écrire la matrice $[f{]}_{𝒞}^{𝒞}$ de $f$ dans la base canonique $𝒞=(e_1,e_2,e_3)$ de $K^3$.
2. Calculer le noyau de $f$. Donner une base de ce s.e.v.
3. Calculer l'image de $f$. Donner une base de ce s.e.v.
4. L'application $f$ est-elle injective ? surjective ?