Application (mathématiques)/Exercices/Injection, surjection, bijection

Exercice 2-1

Soit $f:E\to F$ une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est injective ;
2. $\mathrm{\forall }A\in 𝒫(E)f^{-1}(f(A))=A$ ;
3. $\mathrm{\forall }A,A^{\prime }\in 𝒫(E)f(A\cap A^{\prime })=f(A)\cap f(A^{\prime })$ ;
4. $\mathrm{\forall }A\in 𝒫(E)f\left({\complement }_{E}A\right)\subset {\complement }_{F}f(A)$.

Exercice 2-2

Soit $f:E\to F$ une application. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. $f$ est surjective ;
2. $\mathrm{\forall }B\in 𝒫(F)f(f^{-1}(B))=B$ ;
3. $\mathrm{\forall }A\in 𝒫(E)f\left({\complement }_{E}A\right)\supset {\complement }_{F}f(A)$.

Exercice 2-3

Soient $f:E\to F$, $g:F\to G$ et $h:G\to H$ trois applications. Démontrer que :

1. si $f$ et $g$ sont injectives alors $g\circ f$ est injective ;
2. si $f$ et $g$ sont surjectives alors $g\circ f$ est surjective ;
3. si $g\circ f$ est injective alors $f$ est injective ;
4. si $g\circ f$ est surjective alors $g$ est surjective ;
5. si $g\circ f$ est injective et si $f$ est surjective alors $g$ est injective ;
6. si $g\circ f$ est surjective et si $g$ est injective alors $f$ est surjective ;
7. $g\circ f$ et $h\circ g$ sont bijectives si et seulement si $f$, $g$ et $h$ le sont.

Exercice 2-4

Soit $i:A\to B$ une injection. On suppose $A\ne \varnothing$.

1. Montrer qu'il existe une application $s:B\to A$ telle que $s\circ i={\mathrm{id}}_A$.
2. En déduire que :
   1. pour toute application $f:A\to C$, il existe une application $g:B\to C$ telle $f=g\circ i$ ;
   2. $i$ est simplifiable à gauche, c'est-à-dire

      $\mathrm{\forall }C\mathrm{\forall }h,h^{\prime }:C\to A(i\circ h=i\circ h^{\prime }\Rightarrow h=h^{\prime })$ ;

   3. si $A\ne \varnothing$ et s'il existe une injection de $A$ dans $B$, alors il existe une surjection de $B$ dans $A$.
3. Qu'en est-il si $A=\varnothing$ ?
4. Montrer que réciproquement, toute application simplifiable à gauche est injective.

Exercice 2-5

Montrer qu'une application $s:B\to A$ est surjective si et seulement si elle est simplifiable à droite, c'est-à-dire

$\mathrm{\forall }C\mathrm{\forall }f,f^{\prime }:A\to C(f\circ s=f^{\prime }\circ s\Rightarrow f=f^{\prime })$.

Exercice 2-6

Étant données deux applications $f:A\to C,g:B\to D$, soit $f\times g:A\times B\to C\times D,(a,b)\to (f(a),g(b))$. Montrer que :

1. si $f$ et $g$ sont injectives alors $f\times g$ l'est ;
2. la réciproque est vraie si $A$ et $B$ sont non vides ;
3. si $f$ et $g$ sont surjectives alors $f\times g$ l'est ;
4. la réciproque est vraie si $C$ et $D$ sont non vides.

Exercice 2-7

Soient $X$, $Y$ et $Z$ trois ensembles.

1. Montrer que si $Y\ne \varnothing$ alors l'application $e:Y\times X^Y\to X,(y,g)\mapsto g\left(y\right)$ est surjective, mais non injective en général.
2. Qu'en est-il si $Y=\varnothing$ ?
3. Soit une application $f:Y\times Z\to X$. On lui associe une application $F:Z\to X^Y$ en posant : $\mathrm{\forall }(y,z)\in Y\times ZF\left(z\right)\left(y\right)=f(y,z)$. Vérifier que $e\circ ({\mathrm{id}}_Y\times F)=f$ (pour la notation ${\mathrm{id}}_Y\times F$, cf. exercice précédent).
4. A-t-on :
   1. $F$ surjective $\Rightarrow f$ surjective ?
   2. $f$ surjective $\Rightarrow F$ surjective ?
   3. $f$ injective $\Rightarrow F$ surjective ?
   4. $F$ injective $\Rightarrow f$ injective ?

Exercice 2-8

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$ et

$f:𝒫(E)\to 𝒫(A)\times 𝒫(B),X\mapsto (X\cap A,X\cap B)$.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $f$ soit :

1. injective ;
2. surjective ;
3. bijective.

Exercice 2-9

Soit $f:ℝ\to ℝx\mapsto \frac{2x}{1+x^2}$.

1. $f$ est-elle injective ? surjective ?
2. Montrer que $f(ℝ)=[-1,1]$.
3. Montrer que $g:[-1,1]\to [-1,1]$, restriction de $f$, est une bijection.
4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de $f$.

Modèle:Solution Montrer que l'application $[-1,+\mathrm{\infty }[\to ]0,1],x\mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+2}}$ est bijective et expliciter la bijection réciproque. Modèle:Solution

Exercice 2-10

Soient $f:E\to F$, $g:G\to F$ et $h:E\to H\ne \varnothing$. Démontrer que :

1. $(\mathrm{\exists }u:E\to Gf=g\circ u)\iff (\mathrm{im}f\subset \mathrm{im}g)$ ;
2. $(\mathrm{\exists }v:F\to Hh=v\circ f)\iff (\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in Ef(x_1)=f(x_2)\Rightarrow h(x_1)=h(x_2))$. Pourquoi faut-il supposer $H\ne \varnothing$ ?

Exercice 2-11

Soit $f:E\to F$. On définit $u:𝒫(F)\to 𝒫(E)$ par : $u(B)=f^{-1}(B)$.

Montrer que $u$ est injective si et seulement si $f$ est surjective. Modèle:Solution

Exercice 2-12

Soit $(E_i{)}_{i\in I}$ une famille de sous-ensembles de $E$.

On considère l'application $\phi :F^E\to \prod _{i\in I}{F}^{E_i},f\mapsto (f_{|E_i}{)}_{i\in I}$.

À quelle condition $\phi$ est-elle injective ? surjective ? En général, quelle est son image ? Modèle:Solution