Application (mathématiques)/Exercices/Images directes et réciproques

Soient $E$ et $F$ deux ensembles, $f:E\to F$ une application, $A$ et $A^{\prime }$ deux parties de $E$, et $B$ et $B^{\prime }$ deux parties de $F$. Démontrer les propriétés suivantes (en utilisant éventuellement, pour chacune, les précédentes).

Exercice 1-1

$f(A\cup A^{\prime })=f(A)\cup f(A^{\prime })$. Modèle:Solution

Exercice 1-2

$A\subset A^{\prime }\Rightarrow f(A)\subset f(A^{\prime })$. Modèle:Solution

Exercice 1-3

1. $f(A\cap A^{\prime })\subset f(A)\cap f(A^{\prime })$.
2. Cette inclusion est parfois stricte.
3. Si $f$ est injective alors $f(A\cap A^{\prime })=f(A)\cap f(A^{\prime })$.

Exercice 1-4

$f^{-1}(B\cup B^{\prime })=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B^{\prime })$. Modèle:Solution

Exercice 1-5

$B\subset B^{\prime }\Rightarrow f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B^{\prime })$. Modèle:Solution

Exercice 1-6

$f^{-1}(B\cap B^{\prime })=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B^{\prime })$. Modèle:Solution

Exercice 1-7

$f^{-1}\left({\complement }_{F}B\right)={\complement }_E{f}^{-1}(B)$. Modèle:Solution

Exercice 1-8

1. $A\subset f^{-1}(f(A))$.
2. Cette inclusion est parfois stricte.
3. Si $f$ est injective alors $A=f^{-1}(f(A))$.
4. On dit que $A$ est saturé par $f$ si $A=f^{-1}(f(A))$. Montrer que cette condition équivaut à : $\mathrm{\forall }x\in A\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in Ef(x)=f(x^{\prime })\Rightarrow x^{\prime }\in A$. Montrer que les parties saturées de $E$ sont les parties de la forme $f^{-1}(B)$ avec $B\subset F$.

Exercice 1-9

$f(f^{-1}(B))=B\cap \mathrm{Im}(f)$. Modèle:Solution $f(A\cap f^{-1}(B))=B\cap f(A)$ Modèle:Solution

Exercice 1-10

$A\subset f^{-1}(B)\iff f(A)\subset B$. Modèle:Solution

Exercice 1-11

Reconnaitre les ensembles ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_2(G\cap (A\times F))$ et ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_1(G\cap (E\times B))$. Modèle:Solution