Anneau (mathématiques)/Exercices/Étude de l'anneau Z8

Prérequis : Arithmétique/Divisibilité et congruences dans Z (niveau 13) Modèle:Clr

Définition

Toutes les congruences ci-dessous seront modulo 8. Le signe = désignera la congruence modulo 8, ainsi au lieu de 10 ≡ 18 (mod 8), on notera 10 = 18 (ce qui peut surprendre le lecteur non averti !)

L'anneau ℤ/8ℤ est l'ensemble des 8 classes de congruences modulo 8, noté ici simplement {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, muni de l'addition et de la multiplication induites par les opérations dans ℤ.

Exemple d'addition : 3 + 7 = 10 = 2

Exemple de multiplication : 3 × 7 = 21 = 5

Tables

Dresser les tables d'addition et de multiplication dans ℤ/8ℤ

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	0
2	2	3	4	5	6	7	0	1
3	3	4	5	6	7	0	1	2
4	4	5	6	7	0	1	2	3
5	5	6	7	0	1	2	3	4
6	6	7	0	1	2	3	4	5
7	7	0	1	2	3	4	5	6

x	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	0	2	4	6
3	0	3	6	1	4	7	2	5
4	0	4	0	4	0	4	0	4
5	0	5	2	7	4	1	6	3
6	0	6	4	2	0	6	4	2
7	0	7	6	5	4	3	2	1

Structure de l'anneau

1. L'anneau ℤ/8ℤ est-il intègre ?

2. Donner les idéaux de l'anneau ℤ/8ℤ. L'anneau ℤ/8ℤ est-il principal ? Modèle:Solution

3. Pouvait-on le savoir directement sachant que l'anneau des entiers relatifs est principal ? Modèle:Solution

4. Quels sont les éléments inversibles de l'anneau ℤ/8ℤ ? Quelle est la structure du groupe des éléments inversibles de l'anneau ℤ/8ℤ ?

Modèle:BDdebut Ce sont 1, 3, 5 et 7. Il est remarquable que chacun est propre inverse.

Le groupe multiplicatif a pour table :

x	1	3	5	7
1	1	3	5	7
3	3	1	7	5
5	5	7	1	3
7	7	5	3	1

C'est donc un groupe à 4 éléments, isomorphe au groupe additif (ℤ/2ℤ)² . Modèle:BDfin