Analyse vectorielle/Exercices/Opérateurs vectoriels

Gradient cartésien et gradient cylindrique

Le gradient d'un champ scalaire $f$ est défini de telle sorte que pour toute variation de coordonnées $\mathrm{d}\overrightarrow{r}$, on ait :

$\mathrm{d}f=\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}f\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$.

1. Exprimer $\mathrm{d}\overrightarrow{r}$ et $\mathrm{d}f$ dans un système de coordonnées cartésien. En déduire que le gradient s'écrit :

   $\overrightarrow{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}f=\frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{e_x}+\frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{e_y}+\frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{e_z}$.

2. Exprimer $\mathrm{d}\overrightarrow{r}$ dans un système de coordonnées cylindriques. En déduire l’expression du gradient dans ce système.

Composition d'opérateurs

1. Démontrer les quatre égalités suivantes :
   1. $\text{div}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f)=\mathrm{\Delta }f$ (en prenant comme définition : $\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}$) ;
   2. $\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}f)=\overrightarrow{0}$ ;
   3. $\text{div}(\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{F}))=0$ ;
   4. $\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{\text{rot}}(\overrightarrow{F}))=\mathrm{\nabla }(\text{div}(\overrightarrow{F}))-\mathrm{\Delta }\overrightarrow{F}$.
2. Montrer, en développant les produits vectoriels sur la base $(\overrightarrow{e_x},\overrightarrow{e_y},\overrightarrow{e_z})$, que

   $(\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\wedge \overrightarrow{v})\wedge \overrightarrow{v}=(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{\mathrm{\nabla }})\overrightarrow{v}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}{v}^2$.