Algèbre linéaire/Devoir/Inégalité de Hadamard

Modèle:Devoir L'objet principal de ce devoir est de démontrer le théorème suivant, publié par Modèle:W en 1893. Modèle:Théorème Pour une matrice $C$ à coefficients réels, il s'interprète géométriquement en disant que le volume d'un Modèle:W est maximal quand ses vecteurs de base sont orthogonaux deux à deux.

Nous le déduirons d'un lemme connu lui aussi sous le nom d'inégalité de HadamardModèle:, : Modèle:Lemme

1. Démontrer le lemme à partir de l'inégalité arithmético-géométrique.

1. En déduire le théorème, sous sa seconde forme (on posera $D=\mathrm{diag}(\sqrt{a_{1,1}},\dots ,\sqrt{a_{n,n}})$ et $B=DAD$).
2. Montrer que la seconde forme du théorème équivaut à la première.
3. Soit $C=(c_{i,j})\in {\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(ℝ)$ telle que tous les $|c_{i,j}|$ sont $\le 1$. Montrer que $|\det C|\le n^{n/2}$, avec égalité si et seulement si $C$ est une Modèle:W.

Voir aussi

• Modèle:W
• Inégalité de Fischer
• Modèle:Article