Algèbre linéaire/Devoir/Décomposition QR

Modèle:Devoir Modèle:Wikipédia Soit $A$ une matrice réelle inversible de taille $n$ . $ℝ^{n}$ est muni de sa structure euclidienne canonique.

a) Méthode de Schmidt

Soient $ℬ'$ de matrice $A$ dans la base canonique $ℬ$ de $ℝ^{n}$ , $ℬ'^{'}$ la b.o.n. de $ℝ^{n}$ construite à partir de $ℬ'$ par l'Modèle:W^[1], $R$ la matrice de $ℬ'$ dans $ℬ'^{'}$ et $Q$ la matrice de $ℬ'^{'}$ dans $ℬ$ .

i) Montrer que $Q$ est orthogonale.

ii) Montrer que $R$ est triangulaire supérieure.

iii) Quelle équation relie $A, Q, R$ ?

b) Méthode de Householder

Pour tout vecteur non nul $v$ , on pose $s_{v} (x) = x - \frac{2 ⟨ v, x ⟩}{‖ v ‖^{2}} v$ , et $H_{v} =$ la matrice de $s_{v}$ dans la base canonique. Les matrices $H_{v}$ ainsi obtenues sont appelées Modèle:W de taille $n$ .

i) Démontrer que $s_{v}$ est une réflexion^[2].

ii) Démontrer que si $H$ est une matrice de Householder de taille $n - k$ alors $(\begin{matrix} I_{k} & 0 \\ 0 & H \end{matrix})$ est une matrice de Householder de taille $n$ .

iii) Soient $e$ un vecteur unitaire et $x$ un vecteur non nul. On pose $v = x + α e$ avec $α = \pm ‖ x ‖$ . Montrer que $s_{v} (x) = - α e$ . En choisissant convenablement $e$ , $x$ et $α$ , montrer qu'il existe une matrice de Householder $Q_{1}$ (de taille $n$ ) telle que $Q_{1} A$ soit de la forme $(\begin{matrix} - α & L \\ 0 & A_{1} \end{matrix})$ , avec $A_{1}$ matrice inversible de taille $n - 1$ .

iv) En déduire (en précisant $t$ ) un algorithme permettant de construire des matrices de Householder $Q_{1}, \dots, Q_{t}$ (de taille $n$ ) telles que $R : = Q_{t} \dots Q_{1} A$ soit triangulaire supérieure.

v) Quelle équation relie alors $A, R$ , et $Q : = Q_{1} \dots Q_{t}$ ?

c)

i) Quelles matrices sont à la fois triangulaires et orthogonales ? Montrer qu'elles sont produits de matrices de réflexions^[2]. En déduire (par b) que tout endomorphisme orthogonal est un produit de réflexions.

ii) Quelles matrices sont à la fois triangulaires et orthogonales et à termes diagonaux $> 0$ ? En déduire (en améliorant b.iv) que tout endomorphisme orthogonal est produit d'un nombre $\leq n$ de réflexions. Modèle:Corrigé

Notes

Modèle:Références

↑ Rappel sur Gram-Schmidt pour la question a : pour toute base $(u_{1}, \dots, u_{n})$ d'un e.v. euclidien $E$ , il existe une unique base orthonormée $(v_{1}, \dots, v_{n})$ de $E$ telle que pour tout $k$ , $v_{k} \in V e c t (u_{1}, \dots, u_{k})$ et $⟨ v_{k}, u_{k} ⟩ > 0$ .
↑ ^2,0 et ^2,1 Précision pour les questions b.i et c : une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

[1] Rappel sur Gram-Schmidt pour la question a : pour toute base $(u_{1}, \dots, u_{n})$ d'un e.v. euclidien $E$ , il existe une unique base orthonormée $(v_{1}, \dots, v_{n})$ de $E$ telle que pour tout $k$ , $v_{k} \in V e c t (u_{1}, \dots, u_{k})$ et $⟨ v_{k}, u_{k} ⟩ > 0$ .

[réflexion-2] 2,0 et ^2,1 Précision pour les questions b.i et c : une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.

[1]

[2]

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Notes

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